20、模糊定向缠绕景观与谱聚类中的伽马收敛

模糊定向缠绕景观与谱聚类中的伽马收敛

1. 模糊定向缠绕景观

在图像处理中，对象之间的空间关系评估是一个重要的研究领域，模糊定向缠绕景观为解决这一问题提供了新的视角。

1.1 定义

• 局部缠绕值 ：设对象 $A$ 为清晰对象（表示为 $f_A : R^2 →{0, 1}$），在给定方向 $\theta$ 下，对于位于旋转坐标系中坐标为 $(\rho, t)$ 的对象 $A$ 外部的点，其局部缠绕值定义为：
  $E_A(\theta)(\rho, t) = \frac{1}{|A| 1} \int {t}^{+\infty} f_A^{(\theta,\rho)}(x) dx \int_{-\infty}^{t} f_A^{(\theta,\rho)}(x) dx$
  这里 $|A|_1$ 表示对象 $A$ 的面积。$E_A(\theta)$ 可看作是表示对象 $A$ 外部点的局部缠绕值的景观。
• 模糊定向缠绕景观（Fuzz - DEL） ：为了将其解释为模糊集，将上述图像归一化到 $[0, 1]$ 范围内，得到对象的模糊定向缠绕景观：
  $\mu_A^E(\theta)(\rho, t) = \frac{E_A(\theta)(\rho, t)}{\max_{\rho,t} E_A(\theta)(\rho, t)}$
  这种景观允许评估和可视化每个点在固定方向 $\theta$ 下被对象 $A$ 缠绕的程度。非零值必然位于对象的凹部，这在算法上很有趣，因为可以将计算限制在对象 $A$ 的凸包内（且在 $A$ 外部