6、具有完美自相关和最优互相关的“灰度”数组大家族

具有完美自相关和最优互相关的“灰度”数组大家族

1. 引言

数字水印应用对大量不同尺寸的二维数组有强烈需求，这些数组需同时具备强自相关性和弱互相关性。例如，为一个5分钟、120帧每秒的YouTube视频的每一帧提供水印标签，大约需要36000个数组。若这些标签唯一且互相关性低，就能轻松在5分钟的序列中分离和验证任何一帧。一个由39600个199×199的完美数组组成的家族足以满足此类应用。

函数f和g之间的互相关定义为：
[ C_{fg}(s) = f \otimes g = \sum f(s) \cdot g(s - r) ]
其中，r是移位变量，遍历g的所有坐标，s覆盖f的定义域。自相关对应于f = g的情况。完美数组具有周期性自相关，其非峰值恒定。对于一个p×p的数组，峰值为p²，其他位置为零（或峰值为p² - 1，其他位置为 - 1），且家族中所有成员之间的互相关只有±p值。

以往的工作使用有限Radon变换（FRT）构建了p×p的伪噪声数组家族，家族大小M = p（p是4N - 1型素数），这些数组具有最优的周期性自相关和互相关，满足Welch相关界。这些（勒让德）数组家族的字母表包含一个零元素，其余为数量相等的±1元素。还构建了这些数组家族的“灰度”版本，其整数字母表（整数值范围在±√p之间）。将“灰度”数组A嵌入“灰度”数据B中，若选择将A嵌入B中与A近似的部分，恢复A会更有利，因为A ⊗(A + B) ≈ 2A ⊗A。

后续工作将这些数组家族的大小（M）扩展到p的倍数，通常M ≈ 3p。这是通过将原始数组家族与从原始数组自相关派生的不同数组，或使用FRT构建但家族由不同（但等价）的Hadamard矩阵生成的新数组混合实现的。