5、蜂窝几何：六边形网格上的刚体运动

蜂窝几何：六边形网格上的刚体运动

1. 标签映射与邻域运动映射

在研究六边形网格上的刚体运动时，我们会用到标签映射和邻域运动映射。有参考标签映射 (L_1)，还有与 (G_U^r(\kappa)) 相关的映射 (L_U^r(\kappa))，它将 (N_r’(0)) 中的每个点 (\sigma) 与 (N_r(0)) 中满足 (U(\kappa + \delta) - U(\kappa) = \sigma) 的所有点 (\delta) 的标签关联起来。每个 (\sigma) 可能包含 0、1 或 2 个标签，这取决于在数字化刚体运动下 (\Lambda) 中各点的不同状态。

2. 余数范围划分

数字化刚体运动 (U = D \circ U|\Lambda) 是分段常数的，这意味着邻域运动映射 (G_U^r(\kappa)) 会根据 (U) 的参数非连续地演化。

设点 (\kappa + \delta \in \Lambda) 在 (\kappa) 的邻域 (N_r(\kappa)) 内，根据公式 (U(\kappa + \delta) = R\delta + U(\kappa))。因为 (U(\kappa)) 位于以 (U(\kappa)) 为中心的数字化单元 (C(U(\kappa))) 内，所以存在值 (\rho(\kappa) = U(\kappa) - U(\kappa) \in C(0))。(\rho(\kappa)) 的坐标称为 (\kappa) 在 (U) 下的余数，(\rho) 称为 (U) 下的余数映射，范围 (C(0)) 称为余数范围。利用 (\rho)，可将公式改写为 (U(\kappa + \delta) = R\delta + \