5、数学基础与优化算法详解

数学基础与优化算法详解

在数据挖掘和机器学习领域，数学基础起着至关重要的作用，它为各种算法的设计和实现提供了理论支持。同时，优化算法则是实现高效计算和准确结果的关键。下面将详细介绍相关的数学基础和优化算法。

马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法

马尔可夫链是一系列具有马尔可夫性质的随机变量 (X_1, X_2, \cdots)，其下一个状态仅依赖于当前状态和转移概率。即条件概率：
[P(X_{k + 1} = s|X_k = s_k, \cdots, X_2 = s_2, X_1 = s_1) = P(X_{k + 1} = s|X_k = s_k)]
不依赖于 (k) 之前的状态。当 (k \to \infty) 时，这样的链可以有稳定的概率分布，会“忘记”其初始状态。

假设要估计随机参数 (\theta) 的状态，关键在于当前值 (\theta) 和从 (\theta) 到新状态 (\theta’) 的转移概率或转移核 (T(\theta, \theta’) = p_{\theta \to \theta’}(\theta’|\theta))。在某些对称平衡条件下，具有转移核 (T(\theta, \theta’)) 的马尔可夫链存在平稳分布 (\pi(\theta))，需满足：
[T(\theta, \theta’)\pi(\theta) = T(\theta’, \theta)\pi(\theta’)]
对于所有的 (\theta, \theta’) 都成立。

MCMC 方法的核心思想是构建一个具有适当马尔可夫性质的马尔可夫链，使其平稳分布 (\pi) 与我们要估计的后验分布 (p(\theta|y)) 相同。为此，