12、多静止领导者稳定性分析

多静止领导者稳定性分析

在实际的多智能体系统中，我们常常希望追随者最终能够收敛到由静止领导者所张成的静止凸包内。接下来，我们将分别研究在有向固定和切换交互图的条件下，实现这一目标所需满足的条件。

系统模型

考虑具有单积分器动力学的 $n$ 个智能体，假设领导者是静止的。控制输入定义如下：
- 对于领导者（$i \in V_L$）：$u_i = 0$
- 对于追随者（$i \in V_F$）：$u_i = - \sum_{j \in V_L \cup V_F} a_{ij}(t)[r_i - r_j]$

其中，$a_{ij}(t)$ 是与有向图 $G(t) = [V, E(t)]$ 相关联的邻接矩阵 $A(t)$ 的 $(i, j)$ 元素。由于领导者是静止的，所有 $r_j$（$j \in V_L$）都是常数。同时，因为领导者没有邻居，所以对于所有 $i \in V_L$ 和 $j \in V_L \cup V_F$，有 $a_{ij} = 0$。

为了便于后续分析，我们引入一个公共惯性坐标系 $C_0$，并将系统方程重写为：
$\dot{r}_i^0 = u_i^0, \quad i = 1, \ldots, n$

控制输入相应地重写为：
- 对于领导者（$i \in V_L$）：$u_i^0 = 0$
- 对于追随者（$i \in V_F$）：$u_i^0 = - \sum_{j \in V_L \cup V_F} a_{ij}(t)[r_i^0 - r_j^0]$

有向固定交互情况

当有向交互图固定时，我们假设邻接矩阵 $A$ 是常数。设 $