usaco专题1.5

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这篇博客探讨了三个涉及算法的编程问题。第一题是寻找数字三角形中的最大和路径，通过动态规划求解。第二题是寻找指定范围内的回文质数，采用先判断回文再判断质数的方法。第三题是寻找特殊质数肋骨，通过深度优先搜索遍历所有可能的数字组合，确保每个子集都是质数。这些问题展示了动态规划和质数判断在算法设计中的应用。

usaco专题1.5

第一题数字三角形 Number Triangles
题目： 观察下面的数字金字塔。
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
写一个程序来查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。
在上面的样例中,从7—>3—>8—>7—>5的路径产生了最大。
解题思路： 数字三角形是一道典型的动态规划的题，其实就是从一个点出发找下面两个点，每次都找最大的，那动态转移方程就是：dp[i][j]=dp[i][j]+max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1]);

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long dp[2000][2000];
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++)
		for(int j=0;j<=i;j++)
			cin>>dp[i][j];
	for(int i=n-2;i>=0;i--)
		for(int j=0;j<=i;j++)
			dp[i][j]=dp[i][j]+max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1]);
	cout<<dp[0][0]<<endl;
	return 0;
}

第二题回文质数 Prime Palindromes
题目： 因为151既是一个质数又是一个回文数（从左到右和从右到左是看一样的），所以121是回文质数。写一个程序来找出范围【a,b】(5<=a<b<100000000)( 一亿)间的所有回文质数。
解题思路： 先判断回文再判断质数，因为回文少一点，可减少时间复杂度。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool check1(int n) 
{
    int i=0,j=n;
    while (n != 0)
	{
        i=i*10+n%10;
        n/=10;
    }
    return i==j;
}
bool check2(int n)
{
    for (int i=3;i<=sqrt(n);i++)
        if(n%i==0) return 0;
    return 1;
}
int main() 
{
    int s,e;
    cin>>s>>e;
    for (int i=s;i<=e;i++) 
	{
        if(i==9989900) break; //最后一个质数是前面的，减少循环次数
        if(i%2==0) continue;
        if(check1(i)&&check2(i)) cout<<i<<endl;
    }
}

第三题特殊的质数肋骨 Superprime Rib
题目： 农民约翰的母牛总是产生最好的肋骨。你能通过农民约翰和美国农业部标记在每根肋骨上的数字认出它们。
农民约翰确定他卖给买方的是真正的质数肋骨，是因为从右边开始切下肋骨，每次还剩下的肋骨上的数字都组成一个质数。
举例来说：全部肋骨上的数字7331是质数；三根肋骨733是质数；二根肋骨73是质数；当然,最后一根肋骨3也是质数。被叫做长度4的特殊质数。
写一个程序对给定的肋骨的数目n，求出所有的特殊质数。1不是质数。
解题思路： 先把十以内的质数放进数组里，在进行dfs每个位上的数枚举，每次时判断是否是质数，有一次不是就return。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,ans=0;
int a[10]={0,1,2,3,5,7,9};
bool ifprime(int x)
{
	if(x==1) return 0;
    int t=sqrt(x);
    for(int i=2;i<=t;i++)
    {
        if(x%i==0) return 0;
    }
    return 1;
}
void dfs(int deep)
{
	if(ifprime(ans)==0) return ;
	if(deep==n+1)
	{
		if(ifprime(ans)) cout<<ans<<endl;
		return ;
	}
	else
	{
		for(int i=1;i<=6;i++)
		{
			ans=ans*10+a[i];
			dfs(deep+1);
			ans=(ans-a[i])/10;
		}
	}
}
int main() 
{
    cin>>n;
    dfs(1);
    return 0;
}