30、有限生成群的压缩字问题研究

有限生成群的压缩字问题研究

1. 群与字问题基础

设 $G$ 是有限生成群，由集合 $\Sigma$ 作为群生成。那么，作为幺半群，$G$ 由 $\Sigma \cup \Sigma^{-1}$ 有限生成，其中 $\Sigma^{-1} = {a^{-1} | a \in \Sigma}$ 是 $\Sigma$ 的不相交副本，$a^{-1}$ 表示生成元 $a \in \Sigma$ 的逆元。

群 $G$ 的字问题是一个计算问题：给定一个字符串 $w \in (\Sigma \cup \Sigma^{-1})^*$，判断 $w$ 是否能计算为 $G$ 的单位元。Kharlampovich 证明了存在有限表示的 3 - 步可解群，其字问题是不可判定的。而对于每个有限生成线性群，根据 Lipton 和 Zalcstein 以及 Simon 的研究结果，其字问题可以在确定性对数空间内解决，这尤其适用于多循环群。Robinson 在他的论文中证明了多循环群的字问题属于 $TC^0$，但他的电路不是均匀的。Waack 考虑了任意有限生成可解线性群（包括多循环群），并证明了它们的字问题属于对数空间均匀的 $NC^1$。

2. 直线程序与压缩字问题

直线程序（SLP）本质上是幺半群上的乘法电路。我们将有限字母表 $\Sigma$ 上的 SLP 定义为一个三元组 $G = (V, S, rhs)$，其中：
- $V$ 是有限变量集（或门集）；
- $S \in V$ 是起始变量（或输出门）；
- $rhs$ 将每个变量映射到一个右侧表达式 $rhs(A)$，它要么是一个符号 $a \in \Sigma$，要么是 $BC$ 的形式，其中 $B,