Andrew Ng机器学习-Linear Regression with one variable

这一讲主要是针对单变量的线性回归来讲两个基本概念：损失函数（cost function）、梯度下降(Gradient Descent)

1 Cost Function
定义如下：

左图为cost function的定义。右边为只有一个参数的h(x)的情况。
cost function的作用的评价一个回归函数好坏用的，具体来说就是评价回归函数h(x)的参数选对没。
这里J(theta)也可以称作squared error function。这里把J(theta)定义为平方误差的形式主要是为了后面求偏导数方便与分母约分。

上面的例子中h()函数有两个参数，为了方便理解，我们把theta0=0，此时只有一个可以的参数theta1。下图坐标的两条直线就是theta1取0和1时的情况。

上面图右边部分是theta0=0时损失函数J(theta1)随theta1变化而得到的不同的值。可以看到这个J(theta1)的形状为U型，当theta1时，J()取得最小值。

当theta0不为零的时候，cost function有两个变量控制它的值，此时的三维图结构如下图，下图也叫bowl-shape function（看去来像碗）。

当把bowl shape function中J()值相等时对应的theta0 theta1画出来，就得到下图的，下图右边中一条线上的J()值是相等的，类似于等高线。

2 梯度下降Gradient Descent

回顾一下之前的Cost function，我们的目标是式cost function的值最小化。所以可以通过不断地改变theta0、theta1来实现。如下图的描述所示。

梯度下降更直观的理解就是随便在一个山上找个点，然后从这个点开始一直往低的地方走，这样总能到达一个局部的最低点。形象的描述如下

下面的梯度下降的具体算法，核心思想就是不断地迭代theta0和theta1的值以使cost function的值最小。
注意里面的alpha,这里alpha越大表示每次迭代的幅度大。可以理解为跨的步子大。

具体应用时，关于梯度下降需要特别主要的是：alpha在应用的过程中不需要改变大小，但是每次下降的幅度会越来越小，原因是求得的偏导数（梯度）会逐渐变下。从下图右边的部分可以很清楚的看到。