sheng的学习笔记-平衡二叉树（AVL）和3+4重构

二叉树细节可参考：

sheng的学习笔记-二叉树（BST）_coldstarry的博客-优快云博客

定义

平衡二叉树，又称AVL树，用于解决二叉排序树高度不确定的情况，如果二叉排序树的子树间的高度相差太大，就会让二叉排序树操作的时间复杂度升级为O(n)，为了避免这一情况，为最坏的情况做准备，就出现了平衡二叉树，使树的高度尽可能的小，其本质还是一棵二叉搜索树。

平衡二叉树的性质：

• 左子树和右子树的高度之差的绝对值小于等于1
• 左子树和右子树也是平衡二叉树

为了方便起见，给树上的每个结点附加一个数字，给出该结点左子树与右子树的高度差，这个数字称为结点的平衡因子（BF）

平衡因子=结点左子树的高度-结点右子树的高度。

 左右子树的高度差（平衡因子）< 2，因此平衡二叉树所有结点的平衡因子只能是-1、0、1，如下图，是一个平衡二叉树

等价变换

等价二叉搜索树：若两棵二叉搜索树的中序遍历序列相同,则称它们彼此等价;反之亦然。

旋转调整

由于插入或者删除元素，导致的失衡。最基本的修复手段，通过围绕特定节点的旋转，实现等价前提下的局部拓扑调整。

不一定只有一个结点失去平衡，有可能插入一个结点会让多个结点失衡。这时候找 最小的失衡子树的根节点作为失衡结点。

恢复平衡

那如何去恢复平衡，使得二叉搜索树依然成立为一棵平衡树？先来看平衡调整的四种类型：

 举个例子：如第一个，当平衡二叉树为AB时，插入一个C结点，使得失衡了，失衡结点为A，此时因为C结点插入的位置为失衡结点的左孩子的左孩子，所以是LL型，以此类推。

为了恢复平衡，针对每一种都不一样，但目的都是调整为平衡的，且不能违背二叉搜索树的性质：如下图是每种失衡类型的解决方法，每个都不太一样，目的都是一样的，把key的值为中等的变为树的根，最小的放在左孩子，做大的放右孩子，通过这一目的，降低树的高度，也不用死记硬背。

如书上所说，这一操作被称为树的旋转，如LL型被称为右旋，RR型称为左旋，LR型是先左旋，再右旋，RL型先右旋再左旋。

旋转协助理解图

右旋

 左旋

LL型调整

如下，在实际情况中，调整的内容可能看起来更复杂，如下方块的表示省略了n个结点，调整的方式如下(右旋)：

步骤为：

• B结点带左子树(α和新添加的C结点)一起上升
• A结点成为B的右子树
• 原来的B的右子树成为A的左子树，因为A的左子树是B，上升了，所以空着的

可以看成是A右旋为B的右子树

RR型

LL型和RR型是最简单的几种情况，所以放在了前面。RR型即插入的结点位置在失衡结点的右子树的右子树中，如下图：

调整的步骤和LL的差不多

步骤为：

• B结点和它的右子树(β和新添加的C结点)一起上升
• A结点变为B结点的左子树
• 原来B的左子树α变为A的右子树

可以看成是A左旋至B的左子树

LR型调整

LR型的跳转如下(左旋再右旋)：

• 首先让B和它的子树(除了C)左旋至C的左子树，把C为根的树接入A的左子树
• 然后让A右旋，成为C的右子树 

其过程就是把中位数的C上升，成为AB的双亲

RL型调整

RL型如下(先右旋再左旋)：

• 首先让B和它的子树(除了C)右旋至C的右子树，把C为根的树接入A的右子树
• 然后让A左旋，成为C的左子树 

和LR差不多

例题：输入关键字序列(16，3，7，11 ，9，26，18，14，15)给出AVL树

参考答案：