Leetcode 三角形最小路径和

算法思想与代码详解

这段代码采用的是**动态规划（Dynamic Programming）**的思想，用来解决“120. 三角形最小路径和”问题。动态规划通过将问题分解成更小的子问题，并通过保存子问题的解来避免重复计算，从而提高效率。

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算法核心思路

1. 从底向上计算（Bottom-Up Approach）：

   • 因为我们要求从顶点到底边的最小路径和，可以从底边开始，逐步向上计算每一层的最优解。
   • 每个位置的最小路径和，取决于当前值和下一层两个可能的相邻路径值中的较小者。

2. 状态表示（DP数组）：

   • 使用一个一维数组 dp 来保存“从当前层到底边的最小路径和”。
   • dp[j] 表示从当前层位置 j 到底边的最小路径和。

3. 状态转移方程：

   • 对于某一层的节点 triangle[i][j]，它的最小路径和为：
     [
     dp[j] = \min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle[i][j]
     ]
   • dp[j] 表示当前位置 j 往下的最小路径，dp[j+1] 表示下一个位置 j+1 往下的最小路径。

4. 最终结果：

   • 计算完成后，dp[0] 即为从三角形顶点到底边的最小路径和。

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代码解读

public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
    int n = triangle.size();  // 三角形的层数
    int[] dp = new int[n];    // 用一维数组保存动态规划结果
    
    // 初始化：将 dp 数组赋值为最后一层的值
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        dp[i] = triangle.get(n - 1).get(i);
    }
    
    // 从倒数第二层开始，向上计算每层的最小路径和
    for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {
        for (int j = 0; j <= i; j++) {
            // 动态规划状态转移：当前点的最小路径和
            dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
        }
    }
    
    // 最终答案存储在 dp[0]
    return dp[0];
}

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运行流程

以输入 triangle = [[2], [3, 4], [6, 5, 7], [4, 1, 8, 3]] 为例：

1. 初始化：

   • 将最后一层 [4, 1, 8, 3] 赋值到 dp 数组中：
     [
     dp = [4, 1, 8, 3]
     ]

2. 从倒数第二层开始计算：

   • 第 3 层 ([6, 5, 7])：

     • ( dp[0] = \min(4, 1) + 6 = 7 )
     • ( dp[1] = \min(1, 8) + 5 = 6 )
     • ( dp[2] = \min(8, 3) + 7 = 10 )
       更新后：
       [
       dp = [7, 6, 10, 3]
       ]

   • 第 2 层 ([3, 4])：

     • ( dp[0] = \min(7, 6) + 3 = 9 )
     • ( dp[1] = \min(6, 10) + 4 = 10 )
       更新后：
       [
       dp = [9, 10, 10, 3]
       ]

   • 第 1 层 ([2])：

     • ( dp[0] = \min(9, 10) + 2 = 11 )
       更新后：
       [
       dp = [11, 10, 10, 3]
       ]

3. 最终结果：

   • 返回 dp[0]，即最小路径和为 11。

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时间和空间复杂度

1. 时间复杂度：

   • 外层循环从底层到顶层，共 (n-1) 次。
   • 内层循环每层最多运行 (i+1) 次，整体为 (O(n^2))。
   • 总时间复杂度： (O(n^2))。

2. 空间复杂度：

   • 使用了一个一维数组 dp，大小为 (n)。
   • 总空间复杂度： (O(n))。

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总结

这段代码通过动态规划的思想，从底向上逐层计算路径和，用一个一维数组优化了空间开销，避免了重复计算，具有较高的效率，适用于求解此类逐层递归累加的问题。

java 实现

class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int n = triangle.size();
        int[] dp = new int[n];

        for(int i = 0; i < n; i++) {
            dp[i] = triangle.get(n - 1).get(i);
        }

        for(int i = n - 2; i >= 0; i--) { // i 自底向上
            for(int j = 0; j <= i; j++) { // j 对当前行从左到右遍历, 当 j == i 时,该行的dp[i]值得以确定
                dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j + 1]) + triangle.get(i).get(j);
            }
        }
        return dp[0];
    }
}