494-目标和（01背包）

题目

给定一个非负整数数组，a1, a2, …, an, 和一个目标数，S。现在你有两个符号 + 和 -。对于数组中的任意一个整数，你都可以从 + 或 -中选择一个符号添加在前面。

返回可以使最终数组和为目标数 S 的所有添加符号的方法数。

示例：

输入：nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3
输出：5
解释：

-1+1+1+1+1 = 3
+1-1+1+1+1 = 3
+1+1-1+1+1 = 3
+1+1+1-1+1 = 3
+1+1+1+1-1 = 3

一共有5种方法让最终目标和为3。

题解一（二叉树）

class Solution {
    int count=0;
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        dfs(nums,target,0);
        return count;
    }
    public void dfs(int[] nums,int target,int i){
        //i是用来记录循环次数和i所在的位置的nums数组值的
        if(i==nums.length&&target==0){
            count++;
            return;
        }
        if(i<nums.length){
            dfs(nums,target-nums[i],i+1);//注意：循环调用只能用+1!不能用++，栈会溢出！原因不明？
            dfs(nums,target+nums[i],i+1);
        }
    }
}

思路：

1. 二叉树：

                       0
           -1           +1      
     -1    +1    -1       +1
      .......            ......        ...
   

题解二（dp）

class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) {
        int sum=0;
        for(int num:nums){
            sum+=num;
        }
        if(target>sum||(sum+target)%2==1){
            return 0;
        }
        int newTarget=(sum+target)/2;
        int[] dp=new int[newTarget+1];
        dp[0]=1;
        for(int num:nums){
            for(int j=newTarget;j>=num;j--){
                dp[j]=dp[j]+dp[j-num];
            }
        }
        return dp[newTarget];
    }
}

思路：

1. 复杂度分析

   • 时间复杂度：O(n * target)O(n∗targe**t)
   • 空间复杂度：O(target)O(targe**t)

2. 思路

   • 01背包问题是选或者不选，但本题是必须选，是选+还是选-。先将本问题转换为01背包问题。
   • 假设所有符号为+的元素和为x，符号为-的元素和的绝对值是y。
     我们想要的 S = 正数和 - 负数和 = x - y
     而已知x与y的和是数组总和：x + y = sum
     可以求出 x = (S + sum) / 2 = target
     也就是我们要从nums数组里选出几个数，令其和为target
     于是就转化成了求容量为target的01背包问题 =>要装满容量为target的背包，有几种方案
   • 特例判断
     如果S大于sum，不可能实现，返回0
     如果x不是整数，也就是S + sum不是偶数，不可能实现，返回0
   • dp[j]代表的意义：填满容量为j的背包，有dp[j]种方法。因为填满容量为0的背包有且只有一种方法，所以dp[0] = 1
   • 状态转移：dp[j] = dp[j] + dp[j - num]，
     当前填满容量为j的包的方法数 = 之前填满容量为j的包的方法数 + 之前填满容量为j - num的包的方法数
     也就是当前数num的加入，可以把之前和为j - num的方法数加入进来。
   • 返回dp[-1]，也就是dp[target]