离散数学复习总结 第一章 命题逻辑的基本概念

命题逻辑的基本概念

申明：以下内容为 笔者根据已学内容自己进行的总结，仅供参考。

1.1命题与联结词

1.1.1命题部分

   a命题定义：非真即假的陈述句。

   b命题的判断结果为真值 真值只有俩个：真或者假

命题真值为真，即为真命题；

命题真值为假，即为假命题。

   c原子命题又名简单命题 定义：不能拆分成更简单命题的命题

   d复合命题 定义：由简单命题和联结词组成的命题

   e悖论：无法判断真假或者能由假推真 真推假的命题

例如：例(1) 我真在说假话 若1则0 若0则1

注意： 悖论不是命题

           感叹句，祈使句，疑问句不是命题

           2055年5月1日会下雪 这是一个命题，真值具有唯一性

1.1.2联结词部分

定义1.1.1  “非p” 为p的否定式，“¬”称为否定联结词

定义1.1.2  “p并且q（p与q）”记“p˄q”，称为合取式 “˄”为合取联结词

定义1.1.3   “p或者q”记“p˅q”，称为析取式“˅”为析取联结词

      或 有排斥或和相容或 和自然语言区别，

举个例子：

        他住在203或者204   这个是排斥或

        他爱篮球或者足球     这个是相容或

定义1.1.4    “若p则q”记为 “p->q”，称为蕴含式 “->”称为蕴含联结词  其中p为前件 q为后件

定义 1.1.5    “p等价q”记为“p<->q”,称为等价式“<->”称为等价联结词

上述复合命题的真值自行判断，比较基础不过多阐述。

1.2命题公式及其赋值

1.2.1概念：

非真即假的命题是命题常量又称命题常元，对应初等数学常量，类似的还有命题变量又称命题变元，他的真值不唯一可变，因此命题变元不是命题，由命题变元和联结词和圆括号按照一定的次序组成的字符串称为合式公式，也称命题公式，简称公式。

1.2.2定理：

 1.   A若由单个命题变项组成则称A为原子命题公式

2 .  A为合式公式，则 ¬A也为合式公式

                       AVB也为合式公式

   A˄B也为合式公式

1. >B也为合式公式

          A<->B也为合式公式

  3.有限次地运用1 . 2.组成的公式也称为合式公式

补充

元语言符号： A

对象语言符号：p->q等等

1.2.3对于k层公式的解释：

1. 若A仅由单个命题变项，则称A为0层公式
2. 对于A为n+1层公式的情况如：

• A=¬B其中B为n层公式
• A=B->C B为i层公式，C为j层公式 n=max{i，j}
• A=B<->C同上
• A=BVC同上
• A=B˄C同上

（3）若A的层次为k层，则称A为k层公式

1.2.4对A的赋值

定义p1,p2,p3......pn为组成A的所有命题变项，将A的所有命题变项赋予0或者1，使A为真或为假称为对A的解释或赋值，使A为真称为成真赋值，使A为假称为成假赋值。

1.2.4真值表

将A的所有赋值下的取值情况列成表称为真值表。

1. 若任意赋值A的真值均为1 则称A为永真式或者重言式
2. 若任意赋值A的真值均为0 则称B为永假式或者矛盾式
3. 若A不是矛盾式则A为可满足式。

推论: A的真值表最后一列均为1 则 A为重言式

   A的真值表最后一列均为0 则A为矛盾式

        最后一列有1  则A为可满足式

1.2.4 哑元

  对于A，B俩命题公式 A=qVp，B=cVr,

则称c，r为A的哑元，反之。

哑元对命题公式的判断无影响所以在判断俩命题公式是否等价时A，B含有相同的命题变相即包括哑元，列出真值表后最后一列均相同则称A，B具有相同的真值表。