考研数学笔记（概率统计篇）

全概率公式和贝叶斯公式

我们知道不同的原因可能导致同一种结果（比如你家里没电了，可能是你用大功率电器导致跳闸了，也可能是外面的电缆断了）。

贝叶斯公式解决的核心问题就是：在已知某种问题发生的情况下，求导致这个结果的各种原因发生的概率（比如你家停电了，有1/3的可能是外面电缆断了，还有2/3的可能是你自己用大功率电器烧了）

下面是贝叶斯公式的定义

是不是感觉很绕，下面我给你写个容易看懂的

这个其实就是贝叶斯公式的核心思想，不信你自己推推

均匀分布变换定理

核心结论：若X的分布函数F(x)严格单调递增且连续，则$Y=F(X)服从U(0,1)$

证明核心思路

要证明Y服从[0,1]上的均匀分布，只需证明Y的分布函数G(y)满足：

• 当$y<0$时，$G(y)=0$；
• 当$0\le y\le 1$时，$G(y)=y$；
• 当$y>1时$，$G(y)=1$。

分步证明过程

1. 定义Y的分布函数
   $G(y)=P(Y\le y)=P(F(X)\le y)$，这是分布函数的基本定义

2. 分情况讨论$G(y)$的取值

• 当$y<0$时：$F(X)$是分布函数，取值范围始终在$[0,1]$内，故$P(F(X)\le y)=0$，即$G(y)=0$
• 当$y>1$时：同理，$F(X)\le 1$恒成立，故$P(F(X)\le y)=1$，即$G(y)=1$
• 当$0\le y\le 1$时：因F(x)严格单调递增且连续，存在唯一逆函数F⁻¹(y)
• 由“严格单调递增函数的不等式等价性”，$F(X)\le y$ 等价于 $X\le F^{-1}(y)$
• 代入分布函数定义得：$P(F(X)\le y)=P(X\le F^{-1}(y))=F(F^{-1}(y))=y$，即$G(y)=y$。

3. 验证均匀分布定义
   Y的分布函数G(y)完全符合[0,1]上均匀分布的分布函数形式，故Y~U(0,1)。

独立和不相关之间的关系

独立一定不相关，但不相关不一定独立，仅在特定分布（如正态分布）下，独立和不相关可以等价。

1. 独立→不相关：必然成立

• 若随机变量X和Y相互独立，意味着它们的取值完全互不影响，联合概率密度等于边缘概率密度的乘积。
• 从协方差定义推导：Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]，独立时E[XY] = E[X]E[Y]，故Cov(X,Y)=0。
• 而相关系数ρ = Cov(X,Y)/(√DX·√DY)，Cov(X,Y)=0则ρ=0，即X和Y不相关。

2. 不相关≠独立：普遍情况

• 不相关仅表示X和Y线性无关（相关系数ρ=0），但可能存在非线性关系（如二次、三角函数关系）。
• 示例：设X~N(0,1)，Y=X²。计算得Cov(X,Y)=0（不相关），但Y完全由X决定，显然不独立。

3. 特殊情况：不相关=独立

• 当X和Y均服从正态分布（包括二维正态分布）时，不相关与独立等价。
• 注意：需满足“联合正态分布”，仅单个变量正态不成立，必须是二维整体服从正态分布。

如何判断两个随机变量是否独立？

1. 求两个随机变量的联合概率密度函数，看它是否可以拆成两个边缘概率密度函数的乘积（看下面这个例子）

2. 举一个反例说明它不独立（比如下面这个题的第三问）

亚当夏娃公式

常见分布及其期望方差

如果随机变量X和Y相互独立，分别都服从泊松分布，请问X+Y是否服从泊松分布？

已知 $X_i\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，为什么 $\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$?

为什么 $S^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$，而不是 $\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$

$E(2^X)\stackrel{?}{=}{2}^{E[X]}.$

一般情况下，这个等式不成立！

因为函数 $2^x$ 是 严格凸函数（二阶导数 $(\ln 2{)}^2{2}^x>0$）。

根据 Jensen 不等式

$$E(2^X)\ge 2^{E[X]},$$

且 只有当 $X$ 是常数（退化随机变量）时才会取等号。

也就是说：

• 若 $X$ 有随机性，哪怕很小，都会有

  $$E(2^X)>2^{E[X]}.$$

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✔ 那正确的关系是什么呢？

$$\boxed{E(2^X)\ge 2^{E[X]}}$$

并且 只有当 X 为常数时才能取等号。

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伽马函数

切比雪夫不等式

请问上面俩式子是等价的嘛？

大数定律

当样本量n 趋近于无穷时，样本均值依概率收敛于总体的期望

中心极限定理

现有n个独立同分布的随机变量X1 ~ Xn，无论 Xi 服从什么分布，只要我们对样本均值进行标准化，当样本容量n趋近于无穷时，得到的随机变量一定服从标准正态分布

常见统计量及其分布

正态分布

对于标准正态分布 $X\sim N(0,1)$，关于其偶次幂 $X^{2n}$ 的矩与方差都有一般性结论。

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✅ 1. 正态分布的偶数阶矩

标准正态的偶数阶矩为：

$$E(X^{2n})=(2n-1)!!$$

其中 $(2n-1)!!$ 是双阶乘。例如：

• $E(X^2)=1$
• $E(X^4)=3$
• $E(X^6)=15$
• $E(X^8)=105$

而奇数阶矩均为 0。

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✅ 2. 正态分布的偶次幂方差

我们要的是：

$$D(X^{2n})=E(X^{4n})-(E(X^{2n}){)}^2$$

使用偶数阶矩公式：

$$E(X^{4n})=(4n-1)!!$$

因此得到标准正态 $X^{2n}$ 的方差的一般表达式：

$$\boxed{D(X^{2n})=(4n-1)!!-((2n-1)!!{)}^2}$$

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总结

对于 $X\sim N(0,1)$，有一般公式：

偶数阶矩：

$$E(X^{2n})=(2n-1)!!$$

偶次幂方差：

$$\boxed{D(X^{2n})=(4n-1)!!-((2n-1)!!{)}^2}$$

二维联合正态分布

若二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合概率密度函数为：
$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left\{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-2\rho \frac{(x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}\right]\right\}$$
其中 $x,y\in (-\infty ,+\infty )$，则称 $(X,Y)$ 服从二维联合正态分布，记为 $(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2;{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2;\rho )$。

关键参数及含义

1. ${\mu }_1=E(X)$、${\mu }_2=E(Y)$：分别是随机变量 $X$、$Y$ 的边缘均值，决定联合分布的中心位置。
2. ${\sigma }_1^2=D(X)$、${\sigma }_2^2=D(Y)$：分别是 $X$、$Y$ 的边缘方差（${\sigma }_1>0$、${\sigma }_2>0$），描述单个变量的离散程度。
3. $\rho =\text{Cov}(X,Y)/({\sigma }_1{\sigma }_2)$：$X$ 与 $Y$ 的相关系数，取值范围为 $[-1,1]$，描述两者的线性相关程度：
   • $\rho =0$：$X$ 与 $Y$ 线性无关；
   • $\rho >0$：正相关，$\rho$ 越接近1，正相关性越强；
   • $\rho <0$：负相关，$\rho$ 越接近-1，负相关性越强。

核心性质

1. 边缘分布仍为正态分布：若 $(X,Y)$ 服从二维联合正态分布，则 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$。
2. 线性无关等价于独立：对二维联合正态分布，$X$ 与 $Y$ 线性无关（$\rho =0$）的充要条件是 $X$ 与 $Y$ 相互独立。
3. 线性组合仍为正态分布：任意线性组合 $aX+bY+c$（$a,b$ 不同时为0）仍服从一维正态分布，参数为：
   • 均值：$a{\mu }_1+b{\mu }_2+c$
   • 方差：$a^2{\sigma }_1^2+b^2{\sigma }_2^2+2ab\rho {\sigma }_1{\sigma }_2$
4. 条件分布仍为正态分布：给定 $Y=y$ 时，$X$ 的条件分布为 $N\left({\mu }_1+\rho \frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_2}(y-{\mu }_2),{\sigma }_1^2(1-{\rho }^2)\right)$；反之亦然。

特殊情况：标准二维联合正态分布
当 ${\mu }_1={\mu }_2=0$、${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2=1$ 时，称为标准二维联合正态分布，密度函数简化为：
$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi \sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left\{-\frac{x^2-2\rho xy+y^2}{2(1-{\rho }^2)}\right\}$$

如果X和Y均服从正态分布，但X和Y不相互独立，请问X+Y还服从正态分布吗？

如果X和Y服从二维联合正态分布，即使X与Y不相互独立，他们的和依然服从正态分布

已知X和Y分别服从正态分布，那么 任意线性组合 $aX+bY+c$（$a,b$ 不同时为0）仍服从一维正态分布 是 X和Y服从二维联合正态分布 的等价条件

看下面的例子：已知二维随机变量 $(X,Y)\sim N\left(0,2;{\sigma }^2,{\sigma }^2;\frac{1}{2}\right)$，求$Z=X+Y$的分布

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卡方分布

若$X\sim {\chi }^2(n)$，则$EX=n$，$DX=2n$。

T分布

T分布的定义

设随机变量$X\sim N(0,1)$，$Y\sim {\chi }^2(n)$，$X$与$Y$相互独立，则随机变量$t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$服从自由度为$n$的$t$分布，记为$t\sim t(n)$。

上$\alpha$分位数定义

对给定的$\alpha (0<\alpha <1)$，称满足 P { t > t α ( n ) } = α P\{t > t_{\alpha}(n)\} = \alpha P{t>tα​(n)}=α的$t_{\alpha }(n)$为$t(n)$分布的上$\alpha$分位数

T分布的性质

1. $t$分布概率密度$f(x)$的图形关于$x=0$对称，因此$Et=0(n\ge 2)$

2. 当$n=1$时，即若$X\sim N(0,1)$，$Y\sim {\chi }^2(1)$，则$\frac{X}{\sqrt{Y}}\sim f(x)=\frac{1}{\pi (1+x^2)}$

F分布

F分布概念
设随机变量$X\sim {\chi }^2(n_1)$，$Y\sim {\chi }^2(n_2)$，且$X$与$Y$相互独立，则$F=\frac{X/n_1}{Y/n_2}$服从自由度为$(n_1,n_2)$的F分布，记为$F\sim F(n_1,n_2)$，其中$n_1$称为第一自由度，$n_2$称为第二自由度

F分布的图像
F分布的概率密度$f(x)$的图形如下图所示

F分布的性质

①若$F\sim F(n_1,n_2)$，则$\frac{1}{F}\sim F(n_2,n_1)$

②$F_{1-\alpha }(n_1,n_2)=\frac{1}{F_{\alpha }(n_2,n_1)}$。常用来求$F$分布表中未列出的上$\alpha$分位数，显然，有些特殊值可直接得出，如$1-\alpha =\alpha$，$n_1=n_2=n$时，有$F_{0.5}(n,n)=\frac{1}{F_{0.5}(n,n)}$，且$F_{0.5}(n,n)>0$，故$F_{0.5}(n,n)=1$

证明：设$F\sim F(n_2,n_1)$，则
P { F > F α ( n 2 , n 1 ) } = α P\{F > F_{\alpha}(n_2, n_1)\} = \alpha P{F>Fα​(n2​,n1​)}=α，
P { F ≤ F α ( n 2 , n 1 ) } = 1 − α P\{F \leq F_{\alpha}(n_2, n_1)\} = 1-\alpha P{F≤Fα​(n2​,n1​)}=1−α，
$P\left\{\frac{1}{F}\ge \frac{1}{F_{\alpha }(n_2,n_1)}\right\}=1-\alpha$。
因为$\frac{1}{F}\sim F(n_1,n_2)$，结合上$\alpha$分位数的定义，可知$\frac{1}{F_{\alpha }(n_2,n_1)}=F_{1-\alpha }(n_1,n_2)$

③若$t\sim t(n)$，则$t^2\sim F(1,n)$。

正态分布相关常用统计量

设$X_1,X_2,\cdots ,X_n$是取自正态总体$N(\mu ,{\sigma }^2)$的一个样本，$\bar{X}$，$S^2$分别是样本均值和样本方差，则

①$\bar{X}\sim N\left(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}\right)$，即$\frac{\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma }}{\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )}{\sigma }\sim N(0,1)$；

②$\frac{1}{{\sigma }^2}{\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2\sim {\chi }^2(n)$；

③$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}={\sum }_{i=1}^n{\left(\frac{X_i-\bar{X}}{\sigma }\right)}^2\sim {\chi }^2(n-1)$（$\mu$未知，在“②”中用$\bar{X}$替代$\mu$）；

④$\bar{X}$与$S^2$相互独立，$\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu )}{S}\sim t(n-1)$（$\sigma$未知，在“①”中用$S$替代$\sigma$）.进一步有$\frac{n(\bar{X}-\mu {)}^2}{S^2}\sim F(1,n-1)$

（若$t\sim t(n-1)$，则$t^2\sim F(1,n-1)$）

区间估计

设$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，从总体$X$中抽取样本$X_1,X_2,\cdots ,X_n$，样本均值为$\bar{X}$，样本方差为$S^2$。

①${\sigma }^2$已知，$\mu$的置信水平是$1-\alpha$的置信区间为

$\left(\bar{X}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{z}_{\frac{\alpha }{2}},\bar{X}+\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{z}_{\frac{\alpha }{2}}\right)$

记为 I 1 → P { μ ∈ I 1 } = 1 − α I_1 \to P\{\mu \in I_1\} = 1-\alpha I1​→P{μ∈I1​}=1−α

②${\sigma }^2$未知，$\mu$的置信水平是$1-\alpha$的置信区间为

$\left(\bar{X}-\frac{S}{\sqrt{n}}{t}_{\frac{\alpha }{2}}(n-1),\bar{X}+\frac{S}{\sqrt{n}}{t}_{\frac{\alpha }{2}}(n-1)\right)$

记为 I 2 → P { μ ∈ I 2 } = 1 − α I_2 \to P\{\mu \in I_2\} = 1-\alpha I2​→P{μ∈I2​}=1−α

③$\mu$已知，${\sigma }^2$的置信水平是$1-\alpha$的置信区间为

$\left(\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2}{{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2(n)},\frac{{\sum }_{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2}{{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2(n)}\right)$

记为 I 3 → P { σ 2 ∈ I 3 } = 1 − α I_3 \to P\{\sigma^2 \in I_3\} = 1-\alpha I3​→P{σ2∈I3​}=1−α

④ $\mu$未知，${\sigma }^2$的置信水平是$1-\alpha$的置信区间为

$\left(\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{\frac{\alpha }{2}}^2(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{{\chi }_{1-\frac{\alpha }{2}}^2(n-1)}\right)$

记为 I 4 → P { σ 2 ∈ I 4 } = 1 − α I_4 \to P\{\sigma^2 \in I_4\} = 1-\alpha I4​→P{σ2∈I4​}=1−α

如何求假设检验过程中的拒绝域

拒绝域和显著性水平之间的关系

简单理解的话，显著性水平就是落在拒绝域中的概率

显著性水平的定义：显著性水平（记为α）是假设检验中，预先设定的“犯第一类错误（弃真错误）的最大允许概率”，常用取值为0.05（5%）、0.01（1%）或0.1（10%）

显著性水平越高（α越小），说明犯第一类错误的概率越小，也就是假设是真的，但你把它拒绝了的概率越小，因此拒绝域也就越小

举个例子：

上面这道题中他说在检验水平α=0.05的情况下拒绝H0，其中α=0.05就意味着犯第一类错误的概率是5%，准确率是95%。此时拒绝H0，说明95%的准确率太低了，要想接受H0，需要更高的准确率

薄弱点实时统计

1. 具体行列式的计算（2018年第13题）
2. 对立事件相关问题（2017年第7题）