高维偏微分方程有限表达式求解法

摘要

为高维偏微分方程设计高效且精确的数值求解器，仍然是计算科学与工程中一个充满挑战且重要的课题，这主要是由于在设计维度可扩展的数值方案时存在“维度灾难”。本文引入了一种新方法，该方法在具有有限多个解析表达式的函数空间中寻找偏微分方程的近似解，因此被命名为有限表达式方法。近似理论证明，有限表达式方法可以避免维度灾难。作为概念验证，本文提出了一种深度强化学习方法来实现有限表达式方法，用于求解不同维度的各种高维偏微分方程，在内存复杂度为维度多项式级且时间复杂度可控的情况下，达到了高精度乃至机器精度。具有有限解析表达式的近似解也为真实偏微分方程解提供了可解释的见解，这可以进一步帮助加深对物理系统的理解，并设计用于优化求解的后处理技术。
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