多尺度神经算子求解奇异扰动边界层问题

PVD-ONet：面向奇异扰动边界层问题的多尺度神经算子方法

摘要

物理信息神经网络（PINN）和物理信息DeepONet在求解偏微分方程方面表现优异，但在处理奇异扰动问题时往往难以收敛。为此提出两种新颖框架：Prandtl-Van Dyke神经网络（PVD-Net）及其算子学习扩展Prandtl-Van Dyke深度算子网络（PVD-ONet），这些方法仅依赖控制方程而无需数据。为满足不同任务需求，PVD-Net和PVD-ONet均开发了两种版本：专注于稳定性的版本和面向高精度建模的版本。

领先阶PVD-Net采用双网络架构结合Prandtl匹配条件，针对稳定性优先场景设计。高阶PVD-Net采用五网络架构配合Van Dyke匹配原理，可捕捉精细边界层结构，适用于高精度场景。PVD-ONet通过集成多个DeepONet模块将PVD-Net推广至算子学习场景，可直接将初始条件映射到解算子，无需重新训练即可对整个边界层问题族进行即时预测。

多种模型的数值实验表明，所提方法在各种误差指标下持续优于现有基线，为多尺度问题提供了强大的新解决方案。

技术特性

• 双版本架构：稳定性优先版（双网络+Prandtl匹配）与高精度版（五网络+Van Dyke匹配）
• 无数据依赖：仅基于控制方程实现求解
• 算子学习扩展：通过DeepONet模块实现初始条件到解算子的端到端映射
• 即时预测能力：训练后可快速求解整个边界层问题族

实验验证

在34页论文中包含14组图示，通过多组模型验证表明该方法在多项误差指标上均超越现有基线水平。

论文编号：arXiv:2507.21437 [cs.LG]
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