Unity3D Quaternion 学习与应用

四元数在电脑图形学中用于表示物体的旋转，在unity中由x,y,z,w 表示四个值。
四元数是最简单的超复数。复数是由实数加上元素 i 组成，其中i^2 = -1 \,。 相似地，四元数都是由实数加上三个元素 i、j、k 组成，而且它们有如下的关系： i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \, 每个四元数都是 1、i、j 和 k 的线性组合，即是四元数一般可表示为a + bi + cj + dk \,。
具体的四元数知识可从百度、维基等网站了解。
http://baike.baidu.com/view/319754.htm
现在只说说在unity3D中如何使用Quaternion来表达物体的旋转。
基本的旋转我们可以用脚本内置旋转函数transform.Rotate()来实现。 
function Rotate (eulerAngles : [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3.html]Vector3[/url], relativeTo : [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Space.html]Space[/url] = [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Space.Self.html?from=Transform]Space.Self[/url]) : void

但是当我们希望对旋转角度进行一些计算的时候，就要用到四元数Quaternion了。我对高等数学来说就菜鸟一个，只能用最朴素的方法看效果了。
Quaternion的变量比较少也没什么可说的，大家一看都明白。唯一要说的就是x\y\z\w的取值范围是[-1,1],物体并不是旋转一周就所有数值回归初始值，而是两周。
初始值： (0,0,0,1)
沿着y轴旋转：180°(0,1,0,0) 360°（0,0,0,-1）540°(0,-1,0,0) 720°(0,0,0,1) 
沿着x轴旋转：180°(-1,0,0,0) 360°（0,0,0,-1）540°(1,0,0,0) 720°(0,0,0,1)
无旋转的写法是Quaternion.identify
现在开始研究Quaternion的函数都有什么用。


函数
1）function ToAngleAxis (out angle : float, out axis : [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3.html]Vector3[/url]) : void
DescriptionConverts a rotation to angle-axis representation
这个函数的作用就是返回物体的旋转角度（物体的z轴和世界坐标z轴的夹角）和三维旋转轴的向量到变量out angle 和out axis
 
脚本：
var a=0.0;
var b=Vector3.zero;
transform.rotation.ToAngleAxis(a,b);


输入：transform.localEularAngles=(0,0,0);
输出： a=0, b=(1,0,0);
输入：transform.localEularAngles=(0,90,0);
输出：a=90, b=(0,1,0);
输入：transform.localEularAngles=(270,0,0);
输出：a=90, b=(-1,0,0)


2）function SetFromToRotation (fromDirection : [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3.html]Vector3[/url], toDirection : [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3.html]Vector3[/url]) : void
DescriptionCreates a rotation which rotates from fromDirection to toDirection.
这个函数的作用是把物体的fromDirection旋转到toDirection
 
脚本：
var a:Vector3;
var b:Vector3;
var q:Quaternion;
var headUpDir:Vector3;


q.SetFromToRotation(a,b);
transform.rotation=q;
headUpDir=transform.TransformDirection(Vector3.Forward);

输入：a=Vector3(0,0,1); b=Vector3(0,1,0)//把z轴朝向y轴
输出： q=(-0.7,0,0,0.7); headUpDir=(0,1,0) 
输入：a=Vector3(0,0,1); b=Vector3(1,0,0)//把z轴朝向x轴
输出： q=(0,0.7,0,0.7); headUpDir=(1,0,0) 
输入：a=Vector3(0,1,0); b=Vector3(1,0,0)//把y轴朝向x轴
输出： q=(0,0,-0.7,0.7); headUpDir=(0,0,1) 


3）function SetLookRotation (view : [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3.html]Vector3[/url], up : [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3.html]Vector3[/url] = [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3-up.html?from=Quaternion]Vector3.up[/url]) : void
DescriptionCreates a rotation that looks along forward with the the head upwards along upwards
Logs an error if the forward direction is zero.
这个函数建立一个旋转使z轴朝向view  y轴朝向up。这个功能让我想起了Maya里的一种摄像机lol，大家自己玩好了，很有趣。
 
脚本：
var obj1: Transform;
var obj2: Transform;
var q:Quaternion;

q.SetLookRotation(obj1.position, obj2.position);
transform.rotation=q;
然后大家拖动obj1和obj2就可以看到物体永远保持z轴朝向obj1，并且以obj2的位置来保持y轴的倾斜度。


傻逗我玩了半天 哈哈^^ 这个功能挺实用的。


4）function ToString () : string
DescriptionReturns a nicely formatted string of the Quaternion
这个一般用不着吧？看不懂的一边查字典去~


Class Functions
1）四元数乘法 *
建议非特别了解的人群就不要用了。
作用很简单，c=a*b (c,a,b∈Quaternion)可以理解为 ∠c=∠a+∠b
但是a*b 和b*a效果不一样的。
 2) == 和 !=
不解释了
3）static function Dot (a : Quaternion, b : Quaternion) : float
DescriptionThe dot product between two rotations
点积，返回一个float. 感觉用处不大。Vector3.Angle()比较常用。
 
4）static function AngleAxis (angle : float, axis : [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3.html]Vector3[/url]) : Quaternion
DescriptionCreates a rotation which rotates angle degrees around axis.
物体沿指定轴向axis旋转角度angle, 很实用的一个函数也是。
 
脚本：
var obj1: Transform;
var obj2: Transform;
var q:Quaternion;

//物体沿obj2的z轴旋转，角度等于obj1的z轴。
q=Quaternion.AngleAxis(obj1.localEularAngle.z, obj2.TransformDirection(Vector3.forward));
transform.rotation=q;




5）static function FromToRotation (fromDirection : [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3.html]Vector3[/url], toDirection : [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3.html]Vector3[/url]) : Quaternion
DescriptionCreates a rotation which rotates from fromDirection to toDirection.
Usually you use this to rotate a transform so that one of its axes eg. the y-axis - follows a target direction toDirection in world space.
跟SetFromToRotation差不多，区别是可以返回一个Quaternion。通常用来让transform的一个轴向(例如 y轴)与toDirection在世界坐标中同步。
6）static function LookRotation (forward : [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3.html]Vector3[/url], upwards : [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3.html]Vector3[/url] = [url=file:///E:/Editor/Data/Documentation/Documentation/ScriptReference/Vector3-up.html?from=Quaternion]Vector3.up[/url]) : Quaternion
DescriptionCreates a rotation that looks along forward with the the head upwards along upwards
Logs an error if the forward direction is zero.
跟SetLootRotation差不多，区别是可以返回一个Quaternion。
 
7）static function Slerp (from : Quaternion, to : Quaternion, t : float) : Quaternion
DescriptionSpherically interpolates from towards to by t.
从from 转换到to，移动距离为t。也是很常用的一个函数，用法比较多，个人感觉比较难控制。当两个quaternion接近时，转换的速度会比较慢。
 
脚本：
var obj1: Transform;
var t=0.1;
var q:Quaternion;

//让物体旋转到与obj1相同的方向
q=Quaternion.Slerp(transform.rotation, obj1.rotation,t);
transform.rotation=q;


根据我个人推测，可能t 代表的是from 和to 之间距离的比例。为此我做了实验并证明了这一点即：


q=Quaternion.Slerp(a,b,t);


q,a,b∈Quaternion


t[0,1]


q=a+(b-a)*t


并且t最大有效范围为0~1


脚本：
var obj1: Transform;
var obj2：Transform；
var t=0.1;
var q:Quaternion;

//让物体obj1和obj2 朝向不同的方向，然后改变t
q=Quaternion.Slerp(obj1.rotation, obj2.rotation,t);
transform.rotation=q;


t+=Input.GetAxis("horizontal")*0.1*Time.deltaTime；




7）static function Lerp (a : Quaternion, b : Quaternion, t : float) : Quaternion
DescriptionInterpolates from towards to by t and normalizes the result afterwards.
This is faster than Slerp but looks worse if the rotations are far apart
跟Slerp相似，且比Slerp快，.但是如果旋转角度相距很远则会看起来很差。


8）static function Inverse (rotation : Quaternion) : Quaternion
DescriptionReturns the Inverse of rotation.
返回与rotation相反的方向
 
9）static function Angle (a : Quaternion, b : Quaternion) : float
DescriptionReturns the angle in degrees between two rotations a and b.
计算两个旋转之间的夹角。跟Vector3.Angle() 作用一样。


10）static function Euler (x : float, y : float, z : float) : Quaternion
DescriptionReturns a rotation that rotates z degrees around the z axis, x degrees around the x axis, and y degrees around the y axis (in that order).
把旋转角度变成对应的Quaternion




以上就是Quaternion的所有函数了。


关于应用，就说一个，其他的有需要再补充。
Slerp 函数是非常常用的一个函数，用来产生旋转。
static function Slerp (from : Quaternion, to : Quaternion, t : float) : Quaternion
对于新手来说，最难的莫过于如何用它产生一个匀速的旋转。如果想用它产生匀速转动，最简单的办法就是把form和to固定，然后匀速增加t
脚本：
var obj1: Transform;
var obj2：Transform；
var speed:float;
var t=0.1;
var q:Quaternion;


q=Quaternion.Slerp(obj1.rotation, obj2.rotation,t);
transform.rotation=q;
t+=Time.deltaTime;


但是这并不能解决所有情况。 很多时候from 和to都不是固定的，而且上一个脚本也不能保证所有角度下的旋转速度一致。所以我写了这个脚本来保证可以应付大多数情况。


脚本：
var target: Transform;
var rotateSpeed=30.0;
var t=float;
var q:Quaternion;

var wantedRotation=Quaternion.FromToRotation(transform.position,target.position);
t=rotateSpeed/Quaternion.Angle(transform.rotation,wantedRotation)*Time.deltaTime;
q=Quaternion.Slerp(transform.rotation, target.rotation,t);
transform.rotation=q;


这个脚本可以保证物体的旋转速度永远是rotateSpeed。
第七行用旋转速度除以两者之间的夹角得到一个比例。
如果自身坐标和目标之间的夹角是X度，我们想以s=30度每秒的速度旋转到目标的方向,则每秒旋转的角度的比例为s/X。再乘以每次旋转的时间Time.deltaTime我们就得到了用来匀速旋转的t值