Leetcode 3790. Smallest All-Ones Multiple

• Leetcode 3790. Smallest All-Ones Multiple
  • 1. 解题思路
  • 2. 代码实现

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1. 解题思路

这一题是leetcode周赛482的第三题，是一道medium的题目。

这一题的解法并不难，主要是数学证明的思路还是挺有意思的，是一个典型的数论问题的处理方法。

这一题的核心在于发现：

• 如果$k$不为$2$和$5$的倍数，那么在$1,11,\cdots ,11\cdots 1$当中，必然存在某一个数恰好为$k$的倍数，且长度不超过$k$。

其中，$2$和$5$的倍数不满足题意这一点是可以直接看出来的，剩下的就是证明其余的数都可以找到一个长度不超过$k$位的数。

我们是用反证法，假设不存在这么一个数，那么我们取$1$到$1\cdots 1$这$k$个数，其关于$k$的余数至少有两个数是相同的，然后我们将其相减，则必然得到一个数$1\cdots 10\cdots 0$恰好为$k$的倍数，而这个数又可以写为$1\cdots 1\times 10^m$，显然$10^m$与$k$互质，因此，其前缀$1\cdots 1$必然可以被$k$整除，且其长度不超过$k$，与假设矛盾。

因此，我们只需要一个循环，即可在至多$k$次查找中找到目标的数。

2. 代码实现

给出python代码实现如下：

class Solution:
    def minAllOneMultiple(self, k: int) -> int:
        if k % 2 == 0:
            return -1
        elif k % 5 == 0:
            return -1
        n, num = 1, 1
        while num % k != 0:
            num = (num * 10 + 1) % k
            n += 1
        return n

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