线性代数与解析几何——Part2 矩阵与行列式

• 线性代数与解析几何——Part2 矩阵与行列式
  • 1. 矩阵
    • 1. 定义
    • 2. 矩阵运算
      • 1. 加法与数乘
      • 2. 矩阵乘法
      • 3. 矩阵的逆
      • 4. 转置、共轭与秩
      • 5. 分块运算
      • 6. 初等变换
  • 2. 行列式
    • 1. 定义
    • 2. 性质 & 计算
  • 3. 秩与相抵

1. 矩阵

1. 定义

定义4.1.1
对任意正整数$m$和$n$，由$m\times n$个数排成的$m$行$n$列的表：
$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{m1}& a_{m2}& ...& a_{mn}\end{array}\right)$$
称为一个$m\times n$的矩阵，记作$A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$。
表中的每个数称为矩阵$A$的元素，特别的，当$i=j$时，$a_{ii}$称为$A$的对角元。

其中，有一些特殊矩阵定义如下：

1. 零矩阵（$\mathbf{O}$）：元素都是0的矩阵；
2. 方阵：$n\times n$的矩阵；
3. 单位矩阵（${\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}$或$\mathbf{I}$）：对角元素都是1，其他元素都是0的n阶方阵；
4. 数量矩阵：对角元素都是$a$，其他元素都是0的n阶方阵，即$a{\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}$；
5. 对角矩阵：出对角元素之外均为0的n阶方阵；
6. 上三角矩阵：对一个矩阵$\mathbf{A}$，如果对任意的元素$a_{ij}$，满足$i>j$时，均有$a_{ij}=0$，则称之为上三角矩阵；
7. 下三角矩阵：对一个矩阵$\mathbf{A}$，如果对任意的元素$a_{ij}$，满足$i<j$时，均有$a_{ij}=0$，则称之为上三角矩阵；
8. 三角矩阵：上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵；
9. 对称矩阵：若一个方阵$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，对任意的$i,j$都满足$a_{ij}=a_{ji}$，则称$\mathbf{A}$为对称矩阵；
10. 反对称矩阵：若一个方阵$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，对任意的$i,j$都满足$a_{ij}=-a_{ji}$，则称$\mathbf{A}$为对称矩阵；

2. 矩阵运算

下面，我们来考察一下矩阵当中的一些常见运算。

1. 加法与数乘

定义4.2.1
设矩阵$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{n\times m}\in F^{n\times m},\mathbf{B}=(b_{ij}{)}_{n\times m}\in F^{n\times m},\lambda \in F$，定义矩阵加法和数乘如下：
$$\mathbf{A}+\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& ...& a_{1m}+b_{1m}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& ...& a_{2m}+b_{2m}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{n1}+b_{n1}& a_{n2}+b_{n2}& ...& a_{nm}+b_{nm}\end{array}\right)$$
$$\lambda \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}\lambda a_{11}& \lambda a_{12}& ...& \lambda a_{1m}\\ \lambda a_{21}& \lambda a_{22}& ...& \lambda a_{2m}\\ ...& ...& ...& ...\\ \lambda a_{n1}& \lambda a_{n2}& ...& \lambda a_{nm}\end{array}\right)$$
简记为：
$$\mathbf{A}+\mathbf{B}=(a_{ij}+b_{ij}{)}_{n\times m}$$
$$\lambda \mathbf{A}=(\lambda a_{ij}{)}_{n\times m}$$

我们有如下性质：

1. 加法交换律：$\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A}$
2. 加法结合律：$(\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C})$
3. 有零矩阵：$\mathbf{A}+\mathbf{O}=\mathbf{O}+\mathbf{A}=\mathbf{A}$
4. 有负矩阵：$\mathbf{A}+(-\mathbf{A})=\mathbf{O}$
5. 左分配律：$(\lambda +\mu )\mathbf{A}=\lambda \mathbf{A}+\mu \mathbf{A}$
6. 右分配律：$\lambda (\mathbf{A}+\mathbf{B})=\lambda \mathbf{A}+\lambda \mathbf{B}$
7. 数乘结合律：$(\lambda \mu )\mathbf{A}=\lambda (\mu \mathbf{A})$
8. 数乘单位元：$1\mathbf{A}=\mathbf{A}$

2. 矩阵乘法

定义4.2.2
设$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{mn}\in F^{m\times n}$，$\mathbf{B}=(b_{ij}{)}_{n\times p}\in F^{n\times p}$，则定义矩阵$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$的乘积为一个$m\times p$的矩阵：
$$(\begin{array}{ccc}{\sum }_k{a}_{1k}{b}_{k1}& ...& {\sum }_k{a}_{1k}\\ ...& ...& \\ {\sum }_k{a}_{mk}{b}_{k1}& ...& \end{array}$$