线性代数与解析几何——Part2 矩阵与行列式

• 线性代数与解析几何——Part2 矩阵与行列式
  • 1. 矩阵
    • 1. 定义
    • 2. 矩阵运算
      • 1. 加法与数乘
      • 2. 矩阵乘法
      • 3. 矩阵的逆
      • 4. 转置、共轭与秩
      • 5. 分块运算
      • 6. 初等变换
  • 2. 行列式
    • 1. 定义
    • 2. 性质 & 计算
  • 3. 秩与相抵

1. 矩阵

1. 定义

定义4.1.1
对任意正整数$m$和$n$，由$m\times n$个数排成的$m$行$n$列的表：
$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{m1}& a_{m2}& ...& a_{mn}\end{array}\right)$$
称为一个$m\times n$的矩阵，记作$A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$。
表中的每个数称为矩阵$A$的元素，特别的，当$i=j$时，$a_{ii}$称为$A$的对角元。

其中，有一些特殊矩阵定义如下：

1. 零矩阵（$\mathbf{O}$）：元素都是0的矩阵；
2. 方阵：$n\times n$的矩阵；
3. 单位矩阵（${\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}$或$\mathbf{I}$）：对角元素都是1，其他元素都是0的n阶方阵；
4. 数量矩阵：对角元素都是$a$，其他元素都是0的n阶方阵，即$a{\mathbf{I}}_{\mathbf{n}}$；
5. 对角矩阵：出对角元素之外均为0的n阶方阵；
6. 上三角矩阵：对一个矩阵$\mathbf{A}$，如果对任意的元素$a_{ij}$，满足$i>j$时，均有$a_{ij}=0$，则称之为上三角矩阵；
7. 下三角矩阵：对一个矩阵$\mathbf{A}$，如果对任意的元素$a_{ij}$，满足$i<j$时，均有$a_{ij}=0$，则称之为上三角矩阵；
8. 三角矩阵：上三角矩阵和下三角矩阵统称为三角矩阵；
9. 对称矩阵：若一个方阵$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，对任意的$i,j$都满足$a_{ij}=a_{ji}$，则称$\mathbf{A}$为对称矩阵；
10. 反对称矩阵：若一个方阵$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{n\times n}$，对任意的$i,j$都满足$a_{ij}=-a_{ji}$，则称$\mathbf{A}$为对称矩阵；

2. 矩阵运算

下面，我们来考察一下矩阵当中的一些常见运算。

1. 加法与数乘

定义4.2.1
设矩阵$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{n\times m}\in F^{n\times m},\mathbf{B}=(b_{ij}{)}_{n\times m}\in F^{n\times m},\lambda \in F$，定义矩阵加法和数乘如下：
$$\mathbf{A}+\mathbf{B}=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}+b_{11}& a_{12}+b_{12}& ...& a_{1m}+b_{1m}\\ a_{21}+b_{21}& a_{22}+b_{22}& ...& a_{2m}+b_{2m}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{n1}+b_{n1}& a_{n2}+b_{n2}& ...& a_{nm}+b_{nm}\end{array}\right)$$
$$\lambda \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}\lambda a_{11}& \lambda a_{12}& ...& \lambda a_{1m}\\ \lambda a_{21}& \lambda a_{22}& ...& \lambda a_{2m}\\ ...& ...& ...& ...\\ \lambda a_{n1}& \lambda a_{n2}& ...& \lambda a_{nm}\end{array}\right)$$
简记为：
$$\mathbf{A}+\mathbf{B}=(a_{ij}+b_{ij}{)}_{n\times m}$$
$$\lambda \mathbf{A}=(\lambda a_{ij}{)}_{n\times m}$$

我们有如下性质：

1. 加法交换律：$\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A}$
2. 加法结合律：$(\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C})$
3. 有零矩阵：$\mathbf{A}+\mathbf{O}=\mathbf{O}+\mathbf{A}=\mathbf{A}$
4. 有负矩阵：$\mathbf{A}+(-\mathbf{A})=\mathbf{O}$
5. 左分配律：$(\lambda +\mu )\mathbf{A}=\lambda \mathbf{A}+\mu \mathbf{A}$
6. 右分配律：$\lambda (\mathbf{A}+\mathbf{B})=\lambda \mathbf{A}+\lambda \mathbf{B}$
7. 数乘结合律：$(\lambda \mu )\mathbf{A}=\lambda (\mu \mathbf{A})$
8. 数乘单位元：$1\mathbf{A}=\mathbf{A}$

2. 矩阵乘法

定义4.2.2
设$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{mn}\in F^{m\times n}$，$\mathbf{B}=(b_{ij}{)}_{n\times p}\in F^{n\times p}$，则定义矩阵$\mathbf{A}$和$\mathbf{B}$的乘积为一个$m\times p$的矩阵：
$$\left(\begin{array}{ccc}{\sum }_k{a}_{1k}{b}_{k1}& ...& {\sum }_k{a}_{1k}{b}_{kp}\\ ...& ...& ...\\ {\sum }_k{a}_{mk}{b}_{k1}& ...& {\sum }_k{a}_{mk}{b}_{kp}\end{array}\right)$$
记作$\mathbf{C}:=(c_{ij}{)}_{m\times p}=\mathbf{AB}$，其中，$c_{ij}={\sum }_{k=1}^n{a}_{ik}{b}_{kj}$，即$\mathbf{A}$的第$i$行和$\mathbf{B}$的第$j$列对应元素乘积之和。

显然有：

1. $\mathbf{A}$与$\mathbf{B}$能够相乘的充要条件是$\mathbf{A}$的列数等于$\mathbf{B}$的行数；
2. $\mathbf{AB}$与$\mathbf{BA}$并不一定相同；
3. 非零矩阵的乘积也可能是零矩阵;
4. 数量矩阵与矩阵的相乘相当于矩阵的数乘，即$\lambda \mathbf{IA}=\mathbf{A}\lambda \mathbf{I}=\lambda \mathbf{A}$；
5. $\mathbf{AO}=\mathbf{OA}=\mathbf{A}$;

此外，矩阵的乘法有以下性质：

1. 乘法结合律：$(\mathbf{AB})\mathbf{C}=\mathbf{A}(\mathbf{BC})$
2. 乘法单位元：$\mathbf{AI}=\mathbf{IA}=\mathbf{A}$
3. 左分配律：$(\mathbf{A}+\mathbf{B})\mathbf{C}=\mathbf{AC}+\mathbf{BC}$
4. 右分配律：$\mathbf{A}(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{AB}+\mathbf{AC}$
5. 数乘结合律：$\lambda (\mathbf{AB})=(\lambda \mathbf{A})\mathbf{B}=\mathbf{A}(\lambda \mathbf{B})$

特别的，如果有$\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\mathbf{T}}=\mathbf{I}$，则称矩阵$\mathbf{A}$为正交矩阵。

同样的，我们可以定义方阵的幂为：${\mathbf{A}}^k=\mathbf{A}...\mathbf{A}$。

3. 矩阵的逆

定义矩阵的逆如下：

定义4.2.3
设$\mathbf{A}$是任意一个$n$阶方阵，如果存在一个$n$阶方阵$\mathbf{X}$满足：
$$\mathbf{AX}=\mathbf{XA}=\mathbf{I}$$
则称矩阵$\mathbf{A}$可逆，矩阵$\mathbf{X}$称为$\mathbf{A}$的逆矩阵，记作${\mathbf{A}}^{-1}$。
可逆矩阵也成为非奇异矩阵，反正不可逆矩阵称为奇异矩阵。

矩阵的逆运算有性质如下：

1. $({\mathbf{A}}^{-1}{)}^{-1}=\mathbf{A}$
2. $(\lambda \mathbf{A}{)}^{-1}={\lambda }^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}$
3. $(\mathbf{AB}{)}^{-1}={\mathbf{B}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}$

4. 转置、共轭与秩

同样，我们首先给出其定义如下：

定义4.2.4
将矩阵$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times n}$的行列互换，得到的矩阵称为$\mathbf{A}$的转置矩阵，记作${\mathbf{A}}^T=(a_{ji}{)}_{n\times m}$
$${\mathbf{A}}^T=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& ...& a_{m1}\\ a_{12}& a_{22}& ...& a_{m2}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{1n}& a_{2n}& ...& a_{mn}\end{array}\right)$$
对于一个复矩阵$\mathbf{A}$，如果将其每个元素都转换其共轭复数，得到的矩阵称为$\mathbf{A}$的共轭矩阵，记作$\overline{\mathbf{A}}=(\overline{a_{ij}}{)}_{m\times n}$
$$\overline{\mathbf{A}}=\left(\begin{array}{cccc}\overline{a_{11}}& \overline{a_{12}}& ...& \overline{a_{1n}}\\ \overline{a_{21}}& \overline{a_{22}}& ...& \overline{a_{2n}}\\ ...& ...& ...& ...\\ \overline{a_{m1}}& \overline{a_{m2}}& ...& \overline{a_{mn}}\end{array}\right)$$
对于一个$n$阶方阵$\mathbf{A}$，其对角元之和称为$\mathbf{A}$的迹，记作$tr(\mathbf{A})$
$$tr(\mathbf{A})=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}$$

同样的，我们有性质如下：

1. 转置
   1. $(\mathbf{A}+\mathbf{B}{)}^T={\mathbf{A}}^T+{\mathbf{B}}^T$
   2. $(\lambda \mathbf{A}{)}^T=\lambda {\mathbf{A}}^T$
   3. $({\mathbf{AB}}^T)={\mathbf{B}}^T{\mathbf{A}}^T$
   4. $({\mathbf{A}}^{-1}{)}^T=({\mathbf{A}}^T{)}^{-1}$
2. 迹
   1. $tr(\mathbf{A}+\mathbf{B})=tr(\mathbf{A})+tr(\mathbf{B})$
   2. $tr(\lambda \mathbf{A})=\lambda tr(\mathbf{A})$
   3. $tr({\mathbf{A}}^T)=tr(\mathbf{A})$
   4. $tr(\overline{\mathbf{A}})=\overline{tr(\mathbf{A})}$
   5. $tr(\mathbf{AB})=tr(\mathbf{BA})$

5. 分块运算

对于一个矩阵$\mathbf{A}$，如果我们可以将其按照行列分成若干块：

$$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}{\mathbf{A}}_{11}& {\mathbf{A}}_{12}& ...& {\mathbf{A}}_{1s}\\ {\mathbf{A}}_{21}& {\mathbf{A}}_{22}& ...& {\mathbf{A}}_{2s}\\ ...& ...& ...& ...\\ {\mathbf{A}}_{r1}& {\mathbf{A}}_{r2}& ...& {\mathbf{A}}_{rs}\end{array}\right)$$

则称矩阵$\mathbf{A}$为分块矩阵，记作$({\mathbf{A}}_{ij}{)}_{r\times s}$，每一个${\mathbf{A}}_{ij}$称为$\mathbf{A}$的子块。

特别的，如果对$\forall i\ne j,{\mathbf{A}}_{ij}=\mathbf{O}$，则称$\mathbf{A}$为准对角矩阵。

同样的，我们可以定义准上三角矩阵和准下三角矩阵，这里就不赘述了。

对于分块矩阵，我们同样有如下性质：

1. 设$\mathbf{A}=({\mathbf{A}}_{ij}{)}_{r\times s},\mathbf{B}=({\mathbf{B}}_{ij}{)}_{r\times s}$，则$\mathbf{A}+\mathbf{B}=({\mathbf{A}}_{ij}+{\mathbf{B}}_{ij}{)}_{r\times s}$
2. 设$\mathbf{A}=({\mathbf{A}}_{ij}{)}_{r\times s}$，则$\lambda \mathbf{A}=(\lambda {\mathbf{A}}_{ij}{)}_{r\times s}$
3. 设$\mathbf{A}=({\mathbf{A}}_{ij}{)}_{r\times s},\mathbf{B}=({\mathbf{B}}_{ij}{)}_{s\times t}$，则$\mathbf{AB}={{\mathbf{C}}_{\mathbf{ij}}}_{r\times t}$，其中${\mathbf{C}}_{\mathbf{ij}}={\sum }_{k=1}^n{\mathbf{A}}_{ik}{\mathbf{B}}_{kj}$
4. 设$\mathbf{A}=({\mathbf{A}}_{ij}{)}_{r\times s}$，则${\mathbf{A}}^T=({\mathbf{A}}_{ji}^T{)}_{s\times r}$
5. 设$\mathbf{A}=({\mathbf{A}}_{ij}{)}_{r\times s}$，则$\overline{\mathbf{A}}=(\overline{{\mathbf{A}}_{ij}}{)}_{r\times s}$
6. 设$\mathbf{A}=({\mathbf{A}}_{ij}{)}_{r\times r}$，则$tr(\mathbf{A})={\sum }_{i=1}^{r}tr({\mathbf{A}}_{\mathbf{ii}})$
7. 当${\mathbf{A}}_1,...,{\mathbf{A}}_r$均可逆时，$(diag({\mathbf{A}}_1,...,{\mathbf{A}}_r){)}^{-1}=diag({\mathbf{A}}_1^{-1},...,{\mathbf{A}}_r^{-1})$

6. 初等变换

矩阵的初等变换主要包括以下三种操作：

1. 交换矩阵的某两行；
2. 将某一行乘以某个非零常数；
3. 将某一行的常数倍加入到另一行上；

我们可以用三个基本初等变换矩阵对这三类操作进行实现，分别为：

1. 交换矩阵的$i,j$两行

   $${\mathbf{S}}_{ij}=\left(\begin{array}{ccccccc}1& & & & & & \\ & ...& & & & & \\ & & 0& & 1& & \\ & & & ...& & & \\ & & 1& & 0& & \\ & & & & & ...& \\ & & & & & & 1\end{array}\right)$$

2. 将矩阵的第$i$行倍乘$\lambda$

   $${\mathbf{D}}_i(\lambda )=\left(\begin{array}{ccccccc}1& & & & & & \\ & ...& & & & & \\ & & 1& & & & \\ & & & \lambda & & & \\ & & & & 1& & \\ & & & & & ...& \\ & & & & & & 1\end{array}\right)$$

3. 将矩阵的第$j$行的$\lambda$倍加入到第$i$行中

   $${\mathbf{T}}_{ij}(\lambda )=\left(\begin{array}{ccccccc}1& & & & & & \\ & ...& & & & & \\ & & 1& & \lambda & & \\ & & & ...& & & \\ & & & & 1& & \\ & & & & & ...& \\ & & & & & & 1\end{array}\right)$$

同样的，对于初等矩阵，我们有如下性质：

1. ${\mathbf{S}}_{ij}$为对称方阵，且${\mathbf{S}}_{ij}^{-1}={\mathbf{S}}_{ij}$；
2. ${\mathbf{D}}_i(\lambda )$为对角方阵，且${\mathbf{D}}_i(\lambda {)}^{-1}={\mathbf{D}}_i({\lambda }^{-1}))$；
3. ${\mathbf{T}}_{ij}(\lambda )$为三角方阵，且${\mathbf{T}}_{ij}(\lambda {)}^{-1}={\mathbf{T}}_{ij}(-\lambda )$；

此外，我们还有如下定理：

定理4.2.9
对任意矩阵$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times n}$，存在一系列$m$阶初等方阵${\mathbf{P}}_1,...,{\mathbf{P}}_s$以及$n$阶初等方阵${\mathbf{Q}}_1,...,{\mathbf{Q}}_t$，使得
$${\mathbf{P}}_s...{\mathbf{P}}_1\mathbf{A}{\mathbf{Q}}_1...{\mathbf{Q}}_t=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{I}}_r& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{O}\end{array}\right)$$
其中，$r$为非负整数，称之为矩阵$\mathbf{A}$的秩。

又因为初等矩阵都是可逆矩阵，因此，我们又可以简化上述定理为：

定理4.2.10
对任意矩阵$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{m\times n}$，存在$m$阶可逆方阵$\mathbf{P}$以及$n$阶可逆方阵$\mathbf{Q}$，使得
$$\mathbf{PAQ}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{I}}_r& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{O}\end{array}\right)$$
其中，$r$为非负整数，称之为矩阵$\mathbf{A}$的秩。

更进一步的，我们可以有：

定理4.2.11
方阵$\mathbf{A}$可逆的充要条件为：$\mathbf{A}$可以分解为一系列初等方阵的乘积。

2. 行列式

1. 定义

定义4.3.1
方阵$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{n\times n}$的行列式通常记为$det(\mathbf{A})$或者
$$\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right|$$
当$n=1$时，$det(\mathbf{A})=a_{11}$，当$n\ge 2$时，$det(\mathbf{A})$可以递归地定义为：
$$det(\mathbf{A}):=\sum _{k=1}^n(-1{)}^{k+1}{a}_{1k}\cdot \left|\begin{array}{cccccc}{a}_{21}& ...& a_{2,k-1}& a_{2,k+1}& ...& a_{2n}\\ a_{31}& ...& a_{3,k-1}& a_{3,k+1}& ...& a_{3n}\\ ...& ...& ...& ...& ...& ...\\ a_{n1}& ...& a_{n,k-1}& a_{n,k+1}& ...& a_{nn}\end{array}\right|$$

我们引入符号：
$$M_{ij}=\left|\begin{array}{cccccc}{a}_{21}& ...& a_{2,j-1}& a_{2,j+1}& ...& a_{2n}\\ ...& ...& ...& ...& ...& ...\\ a_{i-1,1}& ...& a_{i-1,j-1}& a_{i-1,j+1}& ...& a_{i-1,n}\\ a_{i+1,1}& ...& a_{i+1,j-1}& a_{i+1,j+1}& ...& a_{i+1,n}\\ ...& ...& ...& ...& ...& ...\\ a_{n1}& ...& a_{n,j-1}& a_{n,j+1}& ...& a_{nn}\end{array}\right|$$

则称$M_{ij}$为矩阵$\mathbf{A}$关于元素$a_{ij}$的余子式，$A_{ij}:=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$称为矩阵$\mathbf{A}$关于元素$a_{ij}$的代数余子式。

则我们易有：

定理4.3.1
设$\mathbf{A}$为$n$阶方阵，则有：
$$det(\mathbf{A})=\sum _{i=1}^n{a}_{ki}{A}_{ki}=\sum _{i=1}^n(-1{)}^{k+i}{a}_{ki}{M}_{ki}$$

在此基础上，我们来考察一下行列式的具体展开形式。

要考察行列式的具体展开，我们需要引入逆序数的定义，其定义如下：

定义 4.3.2
将$n$个两两不同的的正整数$s_1,s_2,...,s_n$按顺序排成一个有序数组成为一个排列，记作$s=(s_1,...,s_n)$，满足$s_1<s_2<...<s_n$的排列称之为顺序排列。互换$s$当中的$i,j$位置上的两个数$s_i,s_j$称之为一次对换，满足$i<j$且$s_i>s_j$的一对数$(s_i,s_j)$称为$s$的一个逆序，$s$的逆序的个数称之为$s$的逆序数，记作$\tau (s)$，逆序数为奇数的排列称为奇排列，反之逆序数为偶数的排列称为偶排列。

我们有引理如下：

引理 4.3.1
每一个排列$s$可经过$\tau (s)$次对换之后变成从小到大的顺序排列。

由此，我们可以给出给出行列式的展开表达式如下：

定理 4.3.3
设$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{n\times n}$为$n$阶方阵，则：
$$det(\mathbf{A})=\sum _{(j_1,...,j_n)\in S_n}(-1{)}^{\tau (j_1,...,j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}...a_{n{j}_n}$$

2. 性质 & 计算

基于行列式的定义，我们很方便就能够得到行列式的如下性质：

1. 交换方阵$\mathbf{A}$的某两行，得到方阵$\mathbf{B}$，则有$det(\mathbf{B})=-det(\mathbf{B})$;
2. 将方阵$\mathbf{A}$的某一行乘以常数$\lambda$，得到方阵$\mathbf{B}$，则有$det(\mathbf{B})=\lambda det(\mathbf{A})$;
3. 若方阵$\mathbf{A}$的某一行是两个向量之和，则$det(\mathbf{A})$可以拆成对应的两个行列式之和；
4. 若方阵$\mathbf{A}$有某两行成比例，则$det(\mathbf{A})=0$，特别地，若$\mathbf{A}$有两行相同，则其行列式为$0$；
5. 若将方阵$\mathbf{A}$地某一行的常数倍加到矩阵$\mathbf{A}$的另一行，得到方阵$\mathbf{B}$，则有$det(\mathbf{A})=det(\mathbf{B})$；
6. 对任意$n$阶方阵$\mathbf{A}$，有$det({\mathbf{A}}^T)=det(\mathbf{A})$；
7. 对任意$n$阶方阵$\mathbf{A},\mathbf{B}$，有$det(\mathbf{AB})=det(\mathbf{A})det(\mathbf{B})$
8. 设方阵$\mathbf{A}=(a_{ij})$为$n$阶方阵，引入$\mathbf{A}$的伴随矩阵
   $${\mathbf{A}}^{\ast }:=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& ...& A_{1n}\\ A_{21}& A_{22}& ...& A_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ A_{n1}& A_{n2}& ...& A_{nn}\end{array}\right)$$
   其中$A_{ij}$是$a_{ij}$的代数余子式，则有：
   $${\mathbf{A}}^{\ast }\mathbf{A}=\mathbf{A}{\mathbf{A}}^{\ast }=det(\mathbf{A})\mathbf{I}$$
9. 方阵$\mathbf{A}$可逆的充要条件是$det(\mathbf{A})\ne 0$，且当$\mathbf{A}$可逆时，
   $${\mathbf{A}}^{-1}=\frac{1}{det(\mathbf{A})}{\mathbf{A}}^{\ast }$$

特别的，我们引入Vandermonde行列式:
$$\Delta \begin{array}{rl}& =\left|\begin{array}{cccc}1& a_1& ...& a_1^{n-1}\\ 1& a_1& ...& a_2^{n-1}\\ ...& ...& ...& ...\\ 1& a_n& ...& a_n^{n-1}\end{array}\right|\\ & ={\Pi }_{1\le i<j\le n}(a_j-a_i)\end{array}$$

此外，我们还给出Cramer法则：

定理 4.3.9 （Cramer法则）
当系数矩阵$\mathbf{A}=(a_{ij}{)}_{n\times n}$的行列式不等于0时，方程组
$$\{\begin{array}{rl}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n& =b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n& =b_2\\ ...& \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+...+a_{nn}{x}_n& =b_n\end{array}$$
有唯一解，为：
$$(x_1,x_2,...,x_n)=(\frac{{\Delta }_1}{\Delta },\frac{{\Delta }_2}{\Delta },...,\frac{{\Delta }_n}{\Delta })$$
其中，$\Delta =det(\mathbf{A})$，${\Delta }_i$时将矩阵$\mathbf{A}$的第$i$行换成$\mathbf{b}=(b_1,...,b_n)$之后得到的矩阵的行列式。

3. 秩与相抵

首先，我们给出相抵以及秩的定义如下：

定义4.4.1
设$\mathbf{A},\mathbf{B}$是$m\times n$矩阵，如果存在可逆方阵$\mathbf{P}$和$\mathbf{Q}$，使得$\mathbf{B}=\mathbf{PAQ}$，则称矩阵$\mathbf{A},\mathbf{B}$相抵。

显然，我们有：

1. $\mathbf{A}$与$\mathbf{A}$本身相抵；
2. 若矩阵$\mathbf{A}$与$\mathbf{B}$相抵，则$\mathbf{B}$与$\mathbf{A}$相抵；
3. 若矩阵$\mathbf{A}$与$\mathbf{B}$相抵，矩阵$\mathbf{B}$与$\mathbf{C}$相抵，则$\mathbf{A}$与$\mathbf{C}$相抵;

更一般地，我们有定理：

定理4.4.1
设$\mathbf{A}$是$m\times n$矩阵，则存在$m$阶可逆方阵$\mathbf{P}$和$n$阶可逆方阵$\mathbf{Q}$，使得
$$\mathbf{PAQ}=\left(\begin{array}{cc}{\mathbf{I}}_{\mathbf{r}}& \mathbf{O}\\ \mathbf{O}& \mathbf{O}\end{array}\right)$$
其中，非负整数$r$由$\mathbf{A}$唯一确定。

由此，我们可以引出秩的定义：

定义4.4.2
设$boldA$是$m\times n$矩阵，上述定理中给出的矩阵$diag({\mathbf{I}}_{\mathbf{r}},\mathbf{O})$称为矩阵$\mathbf{A}$的相抵标准形。整数$r$称之为矩阵$\mathbf{A}$的秩，记作$rank(\mathbf{A})$或者$r(\mathbf{A})$。若$r=m$，则称矩阵$\mathbf{A}$是行满秩的；若$r=n$，则称矩阵$\mathbf{A}$是列满秩的。

对于秩，我们有如下定理：

定理4.4.2
设$\mathbf{A},\mathbf{B}$是$m\times n$，则$\mathbf{A}$与$\mathbf{B}$相抵的充要条件是$rank(\mathbf{A})=rank(\mathbf{B})$。

定理4.4.3
设$\mathbf{A}$是$m\times n$矩阵，$\mathbf{P},\mathbf{Q}$分别$m,n$阶可逆方阵，则$rank(\mathbf{PAQ})=rank(\mathbf{A})$。

引理4.4.1
设$\mathbf{A}$是$m\times n$矩阵，$\mathbf{P},\mathbf{Q}$分别$m,n$阶初等方阵，若$\mathbf{A}$的所有$k$阶子式都是零，则$\mathbf{PA}$与$\mathbf{AQ}$的所有$k$阶子式也是零。

定理4.4.4
矩阵$\mathbf{A}$的非零子式的最大结束等于矩阵$\mathbf{A}$的秩。

此外，还有一些性质如下：

1. 对任意$m\times n$矩阵$\mathbf{A}$，$n\times p$矩阵$\mathbf{B}$，都有$rank(\mathbf{AB})\le min(rank(\mathbf{A}),rank(\mathbf{B}))$
2. 设$\mathbf{A}$为$n$阶方阵，$\mathbf{I}$为同阶单位矩阵，且${\mathbf{A}}^2=\mathbf{A}$，则有$rank(\mathbf{A})+rank(\mathbf{I}-\mathbf{A})=n$