数值计算方法 Chapter5. 解线性方程组的直接法

• 数值计算方法 Chapter5. 解线性方程组的直接法
  • 0. 问题描述
  • 1. 消元法
    • 1. 三角方程组
      • 1. 对角方程组
      • 2. 下三角方程组
      • 3. 上三角方程组
    • 2. Gauss消元法
    • 3. Gauss-Jordan消元法
  • 2. 直接分解法
    • 1. Dolittle分解
    • 2. Courant分解
    • 3. 追赶法
    • 4. 对称正定矩阵的$LD{L}^T$分解

0. 问题描述

这一章节考察的就是如何求解线性方程组：

$$\{\begin{array}{rl}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n& =b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n& =b_2\\ ...& \\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+...+a_{nn}{x}_n& =b_n\end{array}$$

或者可以用矩阵来表达：

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& ...& a_{2n}\\ ...& & & \\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ...\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ...\\ b_n\end{array}\right)$$

1. 消元法

1. 三角方程组

首先，我们来考察一些特殊形式的方程：

1. 对角方程组

对角方程组的函数形式如下：

$$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& & & \\ & a_{22}& & \\ & & ...& \\ & & & a_{nn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ...\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ...\\ b_n\end{array}\right)$$

显然，可以直接写出$x_i=b_i/a_{ii}$，其中，$i\in [1,n]$。

2. 下三角方程组

下面，我们考察一下一个稍微复杂一点的情况，即下三角矩阵的情况：

( a 11 a 21 a 22 . . . a n 1 a n 2 . . . a n n ) ( x 1 x 2 . . . x n ) = ( b 1 b 2 . . . b n ) \begin{pmatrix} a_{11} & & & \\ a_{21} & a_{22} & & \\ & & ... & \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ ... \\ b_n \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎛​a11​a21​an1​​a22​an2​​......​ann​​⎠⎟⎟⎞​⎝⎜⎜⎛​x1​x2​...xn​​