本文介绍了最小二乘法在曲线拟合中的应用，包括线性拟合和二次拟合。通过求解误差平方和的最小值来确定拟合函数的参数，详细给出了线性拟合和二次拟合的数学公式，并解释了如何通过函数变换处理复杂函数的拟合问题。同时，讨论了解矛盾方程组在最小二乘法理论中的作用。
1. 线性拟合和二次拟合函数
最小二乘法本质上就是求一个事先定义一个函数，然后使用已知的采样点结果拟合函数的参数，使得所有采样点的均方误差最小。
即：
φ ( x ) = a r g m i n ∑ i ∣ φ ( x i ) − y i ∣ 2 \varphi(x) = argmin\ \sum_{i}|\varphi(x_i) - y_i|^2 φ(x)=argmin i∑∣φ(xi)−yi∣2
1. 线性拟合
我们假定拟合曲线为：
φ ( x ) = a x + b \varphi(x) = ax + b φ(x)=ax+b
则有拟合误差为：
Q = ∑ i ( a x i + b − y i ) 2 Q = \sum_{i}(ax_i+b-y_i)^2 Q=i∑(axi+b−yi)2
要使得拟合误差 Q Q Q最小，则我们有 Q Q Q对于参数 a , b a,b a,b的偏导均为0，因此，我们即有：
{ ∂ Q ∂ a = ∑ i 2 x i ( a x i + b − y i ) = 0 ∂ Q ∂ b = ∑ i 2 ( a x i + b − y i ) = 0 \left\{ \begin{aligned} \frac{\partial Q}{\partial a} &= \sum_i 2x_i(ax_i + b - y_i) = 0 \\ \frac{\partial Q}{\partial b} &=\sum_i 2(ax_i + b - y_i) = 0 \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧∂a∂Q∂b∂Q=i∑2xi(axi+b−yi)=0=i∑2(axi+b−yi)=0
可以解得：
{ a = n ⋅ ∑ i x i y i − ( ∑ i x i ) ( ∑ i y i ) n ⋅ ∑ i x i 2 − ( ∑ i x i ) 2 b = 1 n ∑ i y i − 1 n ( ∑ i x i ) ⋅ a \left\{ \begin{aligned} a &= \frac{n \cdot \sum_{i} x_iy_i - (\sum_i x_i)(\sum_i y_i)}{n \cdot \sum_i{x_i^2} - (\sum_i x_i)^2} \\ b &= \frac{1}{n} \sum_i y_i - \frac{1}{n} (\sum_i x_i) \cdot a \end{aligned} \right. ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧ab=n⋅∑
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