二分算法深入理解及代码实现！

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原创最新推荐文章于 2026-08-26 09:25:33 发布 1k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

从一道题学会浮点数二分：手把手带你用C++实现任意数的立方根计算今天，我们就以"计算任意数的立方根"这个看似简单的数学问题为切入点，深入探讨浮点数二分算法这一强大工具。更重要的是，掌握浮点数二分算法能够培养我们解决更广泛数值计算问题的能力。我们将通过完整的代码实现和逐步解析，让你不仅能够解决立方根问题，更能举一反三地应用这一算法解决其他类似问题，如计算平方根、求解方程根等。提示：使用固定迭代次数而非精度判断作为循环条件，可以避免因浮点数精度问题导致的无限循环，同时保证足够的计算精度。注意：在实际应用中，可能需要对极大或极小的数进行特殊处理，以防止浮点数溢出或精度丢失。阅读详情

首先，什么是二分查找呢？它是一种高效率的查找算法，也称折半查找。为什么说效率高呢？让我们举个例子，A同学随便在心里想一个数，然后B同学来猜这个数，如果按照做普通的方法从1~1000便利找的话，最慢的情况会猜1000次，而如果用二分思想的话，不管他想的是什么数，B都能在10次之内猜到。（首先猜500，除了运气特别好直接猜对外不管A说太大还是太小，B都继续把可行范围缩小一半：如果太大，那么答案在1~499之间，如果太小，则在501~1000之间。只要每次选择可行区间的中点去猜，每次都能把范围缩小一半。由于log2(1000)<10，10次之内一定能猜到）
二分查找的重要条件：要查找的序列一定是单调的！
递归算法举例

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int binarySearch(int a[],int l,int r,int key){
    if (l<=r){
        int mid=(l+r)>>1;
        if (a[mid]==key) return mid;
        else if (a[mid]>key) return binarySearch(a,l,mid-1,key);
        else return binarySearch(a,mid+1,r,key);
    }
    return -1;  //没有找到返回-1
}
int main(){
    int a[5]={1,3,5,6,7};
    cout<<binarySearch(a,0,4,5)<<endl;//找到5的序号为2
}

迭代实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int binarySearch(int a[],int l,int r,int key){
     while(l<=r){
        int mid=(l+r)>>1;
        if (a[mid]==key) return mid;
        else if (a[mid]>key) r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }
    return -1;  //没有找到返回-1
}
int main(){
    int a[5]={1,3,5,6,7};
    cout<<binarySearch(a,0,4,7)<<endl;//找到7的序号为4
}

尽管能用递归实现，但一般都不用递归形式的二分写法。
下面介绍一种c++STL函数库里的二分，lower_bound(),upper_bound()和binary_search().（STL里的各种数据结构真的是很实用，建议各位花些功夫学好这些）

binary_search():函数模板：binary_search(arr[], arr[]+size , indx)。
参数说明：arr[]:数组首地址。
size:数组元素个数。
index:需要查找的值。
函数功能：在数组中以二分法检索的方式查找，若在数组(要求数组元素非递减)中查找到indx元素则返回1，若查找不到则返回值为0。
示例：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int a[5]={1,3,5,6,7};
    cout<<binary_search(a,a+5,6)<<endl;
    //找到6，返回1
}

lower_bound() :函数功能：函数lower_bound()在first和last中的前闭后开区间进行二分查找，返回大于或等于val的第一个元素位置。如果所有元素都小于val，则返回last的位置。

upper_bound():
函数功能：函数upper_bound()返回的在前闭后开区间查找的关键字的上界，返回大于val的第一个元素位置。
示
例：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
    int a[10]={1,3,3,5,6,7,7,8,10,12};
    cout<<lower_bound(a,a+10,3)-a<<' ';
    cout<<upper_bound(a,a+10,3)-a<<' ';
    cout<<lower_bound(a,a+10,7)-a<<' ';
    cout<<upper_bound(a,a+10,7)-a<<' ';
}
//输出:1 3 5 7

二分原理易懂然而也要在刷题中慢慢提升自己对二分

下面附上一道题吧

/*问是否有x满足这个等式： 8x^4 + 7x^3 + 2x^2 + 3x + 6 == Y,x属于[0,100]，可以为分数
，保留四位小数
*/
#include <iostream>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int calculate(int x)
{
    return 8*x*x*x*x+7*x*x*x+2*x*x+3*x+6;
}
int main()
{
    int y;
    double high=100,low=0,mid;
    while(cin>>y)
    {
        while(low-high<1.0e-6)            / /循环至high，low近乎相等
        {
            mid=(high+low)/2;
            if(calculate(mid)<y)
                low=mid;
            else
                high=mid;
        }
        printf("%.4lf\n",high);
    }
    return 0;
}