正交匹配追踪方法源码 Matlab —— 求解矩阵最小化问题

正交匹配追踪方法源码 Matlab —— 求解矩阵最小化问题

正交匹配追踪方法（Orthogonal Matching Pursuit，简称OMP）是一种用于求解矩阵最小化问题的优化算法。该算法主要用于高维数据压缩、信号处理和机器学习等领域，是一种快速、精确的迭代算法。

在本文中，我们将介绍如何使用 Matlab 编写 OMP 算法的源代码，并给出一个示例演示该算法在高维数据压缩中的应用。

首先，让我们来看一下 OMP 的基本思想。假设有一个矩阵 Y，我们要寻找一个稀疏的向量 x，使得 Yx 的范数最小。这个问题可以被表示为以下的最小化问题：

min ||Yx||_2^2 subject to ||x||_0 <= K

其中，||x||_0 表示向量 x 中非零元素的个数，K 是一个固定的参数，代表期望的稀疏度。

OMP 算法主要分为两个步骤：选取支持集和求解最小二乘问题。具体来说，算法首先选取一个初始的支持集 S，然后重复执行以下两个步骤，直到满足终止条件为止：

1. 求解残差向量 r = Y - YSx_S^+，其中 x_S^+ 是向量 x_S 的最小二乘解。
2. 选取具有最大投影值的向量作为下一步的支持向量，并将其添加到支持集 S 中。

算法终止的条件可以是达到预设的稀疏度 K，或者残差向量的范数已经足够小。最终，算法输出的向量 x 就是原问题的最优解。

接下来，让我们看一下如何使用 Matlab 实现 OMP 算法。以下是一个简单的示例代码：

function [x, S] = OMP