交大oj-1022-Fib数列 C++ 解题报告

交大oj-1022-Fib数列 C++ 总结

1，题目描述

https://acm.sjtu.edu.cn/OnlineJudge/problem/1022

2，解题思路

斐波那契数列求第N项的题一般有三种思路：

1，递归：Fib数列是递归的经典例子，但应用在解题中是费时占内存的选择，对于本题没什么帮助。
2，循环：这也是一种经典思路，但经过分析，也很容易发现不适用于本题。本题中N的最大值是210,000,000,000，每一次循环都要进行加法操作，如果不小于2010，还要进行取余运算。对于循环来说，O(n)的运算效率肯定是行不通的。
3，矩阵优化：这是本题解题的关键。这里感谢优快云上的一篇很棒的文章利用矩阵求斐波那契数列，这篇文章很详细的讲解了如何将求斐波那契数列第N项转化为求一个二维矩阵的N次幂的问题。

• 那么问题来了，如何快速求[[1,1],[1,0]]这个矩阵的n次幂呢？
  链接的博客里有很明确的讲解：

  • Sol(1)：求矩阵A的n次幂，n = 2 * k 时，有 A ^ n = A ^ k * A ^ k; n = 2 * k + 1 时，有 A ^ n = A ^ k * A ^ k * A ，简化运算。
  • Sol(2)：求指数n的二进制数，从低到高，每一项对应的底数为A ^ (i表示第i位)。将所有的位得到的结果相乘，得到最终的结果。实现时可以用位运算符或者是bitset类。这种方法不仅适用于矩阵的n次幂，其实快速求幂运算也是按照这种思路进行的。
  • Sol(3)：你可以先计算出一些N对应的矩阵，在程序里定义出来，这样在实际运算时直接使用，能减少很多运算。

• 关于2010：最后的结果是得到的矩阵的第一项，根据矩阵的乘法公式可以得到，矩阵A* B = C, 对矩阵A和B中的每一项进行