方格取数 双线DP

 

设有N*N的方格图(N<=10,我们将其中的某些方格中填入正整数,而其他的方格中则放入数字0。如下图所示（见样例）：

 

某人从图的左上角的A 点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的B点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。

此人从A点到B 点共走两次，试找出2条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

 

输入格式

输入的第一行为一个整数N（表示N*N的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的0表示输入结束。

 

输出格式

只需输出一个整数，表示2条路径上取得的最大的和。

 

8

2  3  13

2  6   6

3  5   7

4  4  14

5  2  21 

5  6   4

6  3  15

7  2  14

0  0   0

 

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这一题中与众不同的地方就是走两次，而且走过的地方会变为0。

 

通常在动态规划中，需要考虑的东西变多是时候，就可以尝试着增加维度来解决。

 

现在考虑问题，走两次我们可以看做两个一起走，那么他们的坐标为x1,y1和x2,y2

 

                       | F[x1-1][y1][x2-1][y2], |

F[x1][y1][x2][y2] = max| F[x1][y1-1][x2][y2-1], | + [ S[x1][y1] + S[x2][y2] ( x1 != x2 || y1 != y2 ) ] + [ S[x1][y1] ( x1 == x2 && y1 == y2 ) ]

                       | F[x1-1][y1][x2][y2-1], |

                       | F[x1][y1-1][x2-1][y1], |

 

但是这个其实是可以优化的。

 

我们注意到  x1 + y1 == x2 + y2

 

所以 一个三维的状态就能解决问题了

 

F[i][x1][y1]

 

 

#include <iostream> using namespace std; int main() { int n,a,b,c; cin >> n; int map[11][11]; for( int i = 0;i <= 10;++i ) { for( int j = 0;j <= 10;++j ) map[i][j] = 0; } while( (cin >> a >> b >> c),a+b+c > 0 ) map[a][b] = c; int dp[21][11][11]; for( int i = 0;i <= 20;++i ) dp[i][0][0] = 0; for( int i = 2;i <= 2*n;++i ) { for( int x1 = 1;i - x1 > 0 && x1 <= n;++x1 ) { for( int x2 = 1;i - x2 > 0 && x2 <= n;++x2 ) { int max = dp[i-1][x1][x2]; if( dp[i-1][x1-1][x2-1] > max ) max = dp[i-1][x1-1][x2-1]; if( dp[i-1][x1-1][x2] > max ) max = dp[i-1][x1-1][x2]; if( dp[i-1][x1][x2-1] > max ) max = dp[i-1][x1][x2-1]; dp[i][x1][x2] = max + map[x1][i-x1]; if( x1 != x2 ) dp[i][x1][x2] += map[x2][i-x2]; } } } cout << dp[2*n][n][n] << endl; //system("pause"); return 0; }