leetcode刷题(剑指offer) 509

    res = fn1 + fn2;
}
return res;

}

> 
> 矩阵乘法实现
> 
> 
> 


算法的时间复杂度是O(logn)。


首先引入矩阵相乘 
 
 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 F 
 
 
 n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F 
 
 
 
 n 
 
 
 − 
 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F 
 
 
 
 n 
 
 
 − 
 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F 
 
 
 
 n 
 
 
 − 
 
 
 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 ∗ 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
 0 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 = 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F 
 
 
 n 
 
 
 
 + 
 
 
 F 
 
 
 
 n 
 
 
 − 
 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F 
 
 
 n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F 
 
 
 
 n 
 
 
 − 
 
 
 1 
 
 
 
 
 + 
 
 
 
 F 
 
 
 
 n 
 
 
 − 
 
 
 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 F 
 
 
 
 n 
 
 
 − 
 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 (\begin{matrix}F\_n&F\_{n-1}\\F\_{n-1}&F\_{n-2}\end{matrix}) \* (\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}) = (\begin{matrix}F\_n + F{n-1}&F\_n\\F\_{n-1} + F\_{n-2}&F\_{n-1}\end{matrix}) 
 
 
 (Fn​Fn−1​​Fn−1​Fn−2​​)∗(11​10​)=(Fn​+Fn−1Fn−1​+Fn−2​​Fn​Fn−1​​)


根据斐波那契迭代的公式可以推得


* F 
 
 
 n 
 
 
 
 + 
 
 
 
 F 
 
 
 
 n 
 
 
 − 
 
 
 1 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 F 
 
 
 
 n 
 
 
 + 
 
 
 1 
 
 
 
 
 
 F\_n + F\_{n-1} = F\_{n + 1} 
 
 
 Fn​+Fn−1​=Fn+1​
* F 
 
 
 n 
 
 
 
 = 
 
 
 
 F 
 
 
 n 
 
 
 
 ​ 
 
 
 
 F\_n = F\_n​ 
 
 
 Fn​=Fn​​
* F 
 
 
 
 n 
 
 
 − 
 
 
 1 
 
 
 
 
 + 
 
 
 
 F 
 
 
 
 n 
 
 
 − 
 
 
 2 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 F 
 
 
 n 
 
 
 
 
 F\_{n-1} + F\_{n - 2} = F\_n 
 
 
 Fn−1​+Fn−2​=Fn​
* F 
 
 
 
 n 
 
 
 − 
 
 
 1 
 
 
 
 
 = 
 
 
 
 F 
 
 
 
 n 
 
 
 − 
 
 
 1 
 
 
 
 
 
 F\_{n-1} = F\_{n-1} 
 
 
 Fn−1​=Fn−1​


由此可以得出结论。


 
 
 
 
 
 
 A 
 
 
 n 
 
 
 
 ∗ 
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
 0 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 
 
 = 
 
 
 ( 
 
 
 
 A 
 
 
 
 n 
 
 
 + 
 
 
 1 
 
 
 
 
 ) 


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