蓄水池 抽样

蓄水池抽样问题描述的是，在一个无穷尽的样本中，要求随即抽取一些样本，这些样本被抽取到的概率必须保持一致。

      一个蓄水池就可以理解为无穷大的样本空间。

      解决方案就是蓄水库抽样（reservoid sampling）。主要思想就是保持一个集合，作为蓄水池，依次遍历所有数据的时候以一定概率替换这个蓄水池中的数字。

      其伪代码如下：

Init : a reservoir with the size： k

    for    i= k+1 to N
        M=random(1, i);
        if( M < k)
             SWAP the Mth value and ith value
   end for

      解释一下：程序的开始就是把前k个元素都放到数组中，然后对之后的第i个元素，以k/i的概率替换掉这个水库中的某一个元素。

 解法：我们总是选择第一个对象，以1/2的概率选择第二个，以1/3的概率选择第三个，以此类推，以1/m的概率选择第m个对象。当该过程结束时，每一个对象具有相同的选中概率，即1/n，证明如下。

        证明：第m个对象最终被选中的概率P=选择m的概率*其后面所有对象不被选择的概率，即

对应蓄水池抽样问题，可以类似的思路解决。先把读到的前k个对象放入“水库”，对于第k+1个对象开始，以k/(k+1)的概率选择该对象，以k/(k+2)的概率选择第k+2个对象，以此类推，以k/m的概率选择第m个对象（m>k）。如果m被选中，则随机替换水库中的一个对象。最终每个对象被选中的概率均为k/n，证明如下。

        证明：第m个对象被选中的概率=选择m的概率*（其后元素不被选择的概率+其后元素被选择的概率*不替换第m个对象的概率），即

        蓄水池抽样问题的伪代码如下：