1.第三讲三维空间刚体运动-向量内积（点乘）和外积（叉乘）概念及几何意义

墨衍会员 · AI 创作全网分发 墨衍智能分发 本文由作者通过墨衍一键同步至各平台 1分发平台 1.4k累计阅读 1.5k平均单平台已同步平台优快云微信公众号微博知乎掘金百家号博客园抖音小红书 你的文章也可以这样分发 墨衍会员 ¥399起/年，写一次发全网我也要 → 码龄9年

关注

原创最新推荐文章于 2026-02-02 12:47:49 发布 1.4k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

空间解析几何 | 向量、数量积、向量积、混合积、距离公式一、向量及其运算 1、空间直角坐标系与向量 1.1空间直角坐标系 1.2向量及其有关概念 1.3坐标表示向量 1.4向量长度与方向余弦二、向量的数量积、向量积和混合积 2.1 数量积（点积、内积）注：　　　　通过公式我们可以发现，两个向量的数量积就是一个数量。　　　　数量积又称为点积或者内积。　　　　ex: 在直角坐标系 {O; i, j, k} 中，设 α = (a1, a2, a3), β = (b1,... 阅读详情

向量内积（点乘）和外积（叉乘）概念及几何意义

收录于

slam14讲学习笔记

当前文章被收录于：

slam14讲学习笔记

11 篇文章 0 人学习

记录利用slam14讲学习slam过程中又遇到的问题

订阅专栏查看详情

当前文章被以下社区和专栏收录：

数学中几种积：点积(数量积/标量积/内积)、叉积(叉乘/向量积)、外积(张量积/Kronecker积)、哈达玛积(元素积) 1 点积点积（dot product)，又称数量积、标量积. 输入：一种接受两个等长的数字序列（通常是坐标向量）；输出：返回单个数字。在欧几里几何空间中，向量的点积运算又称为内积。表示代数定义推广矩阵的点积/内积，为对应矩阵元素的积之和。 A，B是定义为两个相同大小的矩阵。值得注意的是，一些对于A，B大小不同，可以分别把它们组成的向量进行内积。比如在numpy中： im... 阅读详情

相关推荐

机器学习项目（四）疫情期间网民情绪识别（一）

疫情期间网民情绪识别赛题背景 2019新型冠状病毒（2019-nCoV）感染的肺炎疫情发生对人们生活生产的方方面面产生了重要影响，并引发国内舆论的广泛关注，众多网民参与疫情相关话题的讨论。为了帮助政府掌握真实社会舆论情况，科学高效地做好防控宣传和舆情引导工作，本赛题针对疫情相关话题开展网民情绪识别的任务。数据介绍训练集 10万条无标记样本90万条测试集1万条数据集依据与“新冠肺炎”相关...

qq_33357094的博客 8971

【多视图几何】TUM 课程第2章刚体运动

课程的 YouTube 地址为：https://www.youtube.com/playlist?list=PLTBdjV_4f-EJn6udZ34tht9EVIW7lbeo4 。视频评论区可以找到课程所使用课件与练习题的下载地址。课程第2章从李群与李代数的角度介绍三维空间的刚体运动。李群即常见的旋转矩阵、变换矩阵，李代数与李群对应，李代数 \(se(3)\) 是所有三维反对称阵的集合...

baochong7032的博客 483

Proteus下载安装快速入门：30分钟掌握全过程

手把手教你完成proteus下载安装，从环境配置到首次运行一气呵成，适合电子设计新手快速掌握仿真工具的核心操作步骤。

weixin_31974443的博客 891

向量点乘（内积）和叉乘（外积、向量积）概念及几何意义（转载）

向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；向量的点乘,也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。点乘公式对于向量a和向量b： ...

qq_15906905的博客 1万+

电流互感器的使用分析

有关电流互感器使用的注意事项，回头再看，耳目一新。

qq_46757048的博客 2万+

rk3568 Android12 默认授予预装app权限

默认授予预装应用权限可以避免用户在每次使用应用时都要重复同意权限请求。尽管在Android 12中，用户对权限的管理有了更高的控制权，但这也可能导致用户在频繁使用预装应用时感到繁琐和不必要的干扰。通过默认授权，减少了这种麻烦。一些厂商可能会根据其定制的Android系统（如Samsung的One UI、Xiaomi的MIUI）要求某些预装应用默认获得权限，以便应用能够提供厂商特定的功能。这也有助于设备厂商提供统一和稳定的服务，不至于因为权限问题导致某些功能无法使用。

weixin_35723192的博客 661

1.三维空间刚体的旋转

参考资料：视觉SLAM十四讲 https://mp.weixin.qq.com/s/De-fkRVlqvYN6W9zYHS1_A 概念梳理刚体在三维空间中的运动可以通过如下四种方式描述：旋转矩阵，旋转向量，欧拉角和四元数。标准正交基在线性代数中，一个内积空间的正交基事元素两两正交的基。我们称基中的元素为基向量。假若，一个正交基的基向量的模长都是单位长度1，则称为正交基为标准正交基。正交矩......

Zodiac_V的专栏 1284

后悔没早点知道！用AI只需四步，一次性讲清高质量论文引言写法（附公式+AI指令）

帮我写SCI 论文撰写引言的“研究背景与重要性”，要求从本研究所属领域的小背景切入，使用现在时态描述该领域的总体状况与发展趋势，突出其在学术研究、实际应用或社会层面的重要价值，并通过一个吸引人的钩子开头，如关键事实、现实问题或学术热点，引导读者关注本主题的重要性。梳理你所在领域和你研究相关的关键成果，但不能罗列所有文献，重点抓核心脉络，这部分最重要的实际上是让你了解别人的研究脉络，然后在每个关键的节点上，引用几篇关键参考文献作支撑，来体现你对领域的熟悉度就可以了。3）研究缺口模糊，没法突出问题的真实价值；

qq_64378896的博客 116

三维向量的简单运算（点积、叉积及点到直线的距离）

向量点积、叉积；点到线的距离及点到面的距离

zhangSMILE123456的博客 6万+

AI驱动的客户终身价值分析：深入理解公司的收入质量

客户终身价值(Customer Lifetime Value, CLV)是衡量客户在整个生命周期内能为企业带来多少利润的重要指标。传统的CLV计算方法往往过于简化，无法准确反映复杂的客户行为和收入模式。本文旨在介绍如何利用人工智能技术，特别是机器学习方法，构建更精确的CLV预测模型，从而帮助企业深入理解其收入质量。CLV的基本概念和商业意义传统CLV计算方法的局限性基于机器学习的CLV预测方法特征工程和模型选择策略实际应用案例和Python实现首先介绍CLV的基本概念和商业背景。

AI云原生与云计算技术学院 477

YOLOV12融合MSDA多尺度空洞注意力：突破尺度限制的科研实践指南

MSDA通过多尺度空洞注意力的设计，为YOLOV12突破尺度检测瓶颈提供了有效方案。从原理理解到代码实现，再到集成调优，每一步都是科研中“解决实际问题”的具体实践。如果你在实验中发现某类尺度目标的检测仍有不足，可以尝试结合数据增强（如随机缩放、多尺度训练）来强化模型对尺度变化的鲁棒性。科研的价值在于不断解决真实难题，希望这份指南能真正帮你在目标检测的尺度感知领域找到新的突破点，祝你在科研探索中持续收获新的见解与成果。

FJN110的博客 241

点积、叉积、内积、外积【汇总对比】

点积(dot product)又叫标量积、数量积(scalar product)。它是两个数字序列的相应条目的乘积之和。在欧几里得几何中，两个向量的笛卡尔坐标的点积被广泛使用。它通常被称为欧几里得空间的内积（或很少称为投影积），是内积的一种特殊情况，尽管它不是可以在欧几里得空间上定义的唯一内积。

欢迎关注，共同进步！ 6万+

TMS_WebGMaps_1.9.8.0_Full_Source

TMS_WebGMaps_1.9.8.0_Full_Source 全源码 delphi cbuilder

向量内积（点乘）和外积（叉乘）

向量 P 在 Q上的投影可以看作 P 的线性变换

保持分享欲 6355

STM32F407中文手册

STM32f407中文手册本参考手册面向应用开发人员，提供有关使用 STM32F405xx/07xx、STM32F415xx/17xx、 STM32F42xxx 和 STM32F43xxx 微控制器存储器与外设的完整信息。STM32F405xx/07xx、STM32F415xx/17xx、STM32F42xxx 和 STM32F43xxx 构成一个微控制器系列，各产品具有不同的存储器大小、封装和外设。有关订购信息以及器件的机械与电气特性，请参见数据手册。有关 ARM Cortex™-M4F 内核的信息，请参见《Cortex™-M4F 技术参考手册》。

LinePhone3.2.7(android端最新版本) sip客户端

SIP客户端For android：LinePhone3.2.7(最新版本)，官网地址：http://www.linphone.org/

数学中的内积和外积

内积(inner product, scalar product，dot product) 根据翻译，内积又叫标量积、点积，还叫数量积。是指接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。两个向量和的点积定义为：使用矩阵乘法并把（纵列）向量当作n×1矩阵，点积还可以写为：其中，指示矩阵a的转置。注：有的同学觉得是，其实都没有错，到底是a的...

I‘m Frank Lee 3万+

假人有限元模型

假人模型，车辆碰撞假人有限元模型，适合做乘员安全的研究者利用

【数学与算法】向量内积（点乘）和外积（叉乘）概念及几何意义

向量内积（点乘）和外积（叉乘）概念及几何意义

u011754972的博客 1万+

向量点乘（内积）和叉乘（外积、向量积）概念及几何意义解读

向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；向量的点乘,也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。点乘公式对于向量a和向量b：

牧野的博客 96万+

带你一次搞懂点积（内积）、叉积（外积）

本文详细介绍了点积（内积）、叉积（外积）、元素积等常见概念的的定义，并配以举例说明及numpy实现。堪称全网最权威，强力建议收藏，有不足之处，还请批评指正！

聚集机器学习、信息安全 9万+

点积、内积、外积、叉积、张量积——概念区分

　　找张量积概念的时候，被各种野路子博客引入的各种“积”搞混了，下面仅以Wikipedia为标准记录各种积的概念。点积(Dot product) 　　https://en.wikipedia.org/wiki/Dot_product 　　在数学中，点积(Dot product)或标量积(scalar product)是一种代数运算，它取两个相等长度的数字序列(通常是坐标向量)，并返回一个数字。...

https://www.cnblogs.com/qizhou/ 7814

[转]向量点乘（内积）和叉乘（外积、向量积）概念及几何意义解读

原文链接：https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832 转载说明:感谢原作者!如有侵权,请联系我删除,谢谢! 向量点乘（内积）和叉乘（外积、向量积）概念及几何意义解读向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；向量的点乘,也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，.

陈显森的博客 1497

线性代数的学习和整理23：用EXCEL和python 计算向量/矩阵的：内积/点积，外积/叉积

乘法的定义a*b= a个b之和a*b= a 的 b 倍2*3=3+3=6是接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算名称：向量的数量积，向量的内积，矩阵的内积相关概念点乘：(Pointwise Multiply)点乘的结果就是点积点积点积, 也标准内积，欧几里得内积公式用于矩阵相乘，A，B为维度大小完全相同的矩阵即A的行数=B的行数，A的列数=B的列数实际计算的时候，点积=行向量*列向量在运算时，AB矩阵的对应位置的元素相乘。

奔跑的犀牛先生 6407

向量 | 内积 / 外积 / 点积 / 叉积 | 几何意义 / 应用

……

u013669912的博客 1878

向量点乘（内积）和叉乘（外积、向量积）概念及几何意义

转载自： https://blog.csdn.net/dcrmg/article/details/52416832 向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；向量的点乘,也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。点乘公式对于向量a和向量b：     &...