P4141-消失之物题解

转载于 2025-08-22 22:30:02 发布 · 44 阅读

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题目描述：
题目简化：
解法一：朴素01背包 80pts
解法二：补集辅助数组 100pts
关于这篇题解：

题目描述：

## 题目描述

ftiasch 有 \(n\) 个物品, 体积分别是 \(w_1,w_2,\dots,w_n\)。由于她的疏忽，第 \(i\) 个物品丢失了。

“要使用剩下的 \(n-1\) 物品装满容积为 \(x\) 的背包，有几种方法呢？”——这是经典的问题了。

她把答案记为 \(\text{cnt}(i,x)\) ，想要得到所有\(i \in [1,n]\), \(x \in [1,m]\) 的 \(\text{cnt}(i,x)\) 表格。

## 输入格式

第一行两个整数 \(n,m\)，表示物品的数量和最大的容积。
第二行 \(n\) 个整数 \(w_1,w_2,\dots,w_n\)，表示每个物品的体积。

## 输出格式

输出一个 \(n \times m\) 的矩阵，表示 \(\text{cnt}(i,x)\) 的**末位数字**。

## 输入输出样例 #1

### 输入 #1

```
3 2
1 1 2
```

### 输出 #1

```
11
11
21
```

## 说明/提示

【数据范围】
对于 \(100\%\) 的数据，\(1\le n,m \le 2000\)，且 \(1\le w_i\le 2000\)。

【样例解释】
如果物品 3 丢失的话，只有一种方法装满容量是 2 的背包，即选择物品 1 和物品 2。

—

\(\text{upd 2023.8.11}\)：新增加五组 Hack 数据。

题目简化：

给定n个物品和容量为m的背包，此时我们令物品 \(i \in [1,n]\) 不可选，令背包容量 \(v \in m\) 逐渐增加，输出去除每种物品后对于正好填满每种背包大小的方案数的个位；

解法一：朴素01背包 80pts

这道题最朴素的做法是 \(O(n^2 \times m)\) 的，我们每次更改不可用的物品 \(i\) 时，都重新进行一次dp数组计算，而每次dp的计算都是 \(O(n \times m)\) 的，所以总体时间复杂度 \(O(n^2 \times m)\) ；
没什么好解释的，这里不给代码了；

解法二：补集辅助数组 100pts

我们注意到： \(O(n^2 \times m)\) 的时间复杂度明显不可接受，那么唯一可能的复杂度是 \(O(n \times m)\) 的，也就是说，我们对于去除一个元素的这个操作，需要 \(O(1)\) 完成；
因此我们需要设计出如何通过dp数组直接求出去除一个物品的答案，这里我们根据补集的思想进行设计：

不难发现：总方案数 = 选i的方案数 + 不选i的方案数；
我们最终要求出的就是不选i的方案数，所以我们要做的就是以 \(O(1)\) 的复杂度求出不选i的方案数；

我自己做这道题的时候做了2小时，想出来了解法：
我们维护一个数组 \(f_v\) ，定义为容量为v时不选i的方案数，那么 \(f\) 怎么计算呢；
显然有 \(f_0 = 1\) ；
随后，当 \(j<w_i\) 时，代表此时的背包容量不足以放下物品i，所以此时的 \(f_j = dp_j\) ;
当 \(j>=w_i\) 时，此时的 \(f_v\) 应该是多少呢；
由：“总方案数 = 选i的方案数 + 不选i的方案数”，可得：不选i的方案数 = 总方案数 - 选i的方案数
即为 \(f_j = dp_j - f_{j-w_i}\) ;

这里非常疑惑的一个点是：选i的方案数为什么是 \(f_{j-w_i}\) ;
补充一个引理：背包问题的最优解与放入物品的顺序无关（这是显然的，无后效性的体现）
我们可以这样理解：对于一个选i的方案而言，我们可以认为i是最后一个物品，先不选i填充容量为 \(j-w_i\) 的背包，随后使用i填充完整；
由于最后一个一定选i，所以方案数为：不选i填充容量为 \(j-w_i\) 的背包的方案数，即为 \(f_{j-w_i}\) ；

总结一下： \(f_j = dp_j - f_{j-w_i}\) (当 \(j>=w_i\) 时)， \(f_j = dp_j\) (当 \(j<w_i\) 时);

经过我们的一番推理，最终得出了不选i的方案数，这就是我们想要的答案，根据要求中途取模输出即可；