《算法导论》笔记——循环不变式及插入排序证明

转载于 2025-08-05 14:30:02 发布 · 6 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

原文链接：https://www.cnblogs.com/SilverGo/p/19023190

文章标签：

#it

算法导论第二章中提出了一个概念－－“循环不变式”

那么，何为循环不变式

我的理解是：

“循环不变式是用于证明算法正确性的一种工具”

它应该怎么用呢

首先，对于任意的一种算法，我们需要找出其循环不变式
然后，需要证明循环不变式的三条性质

对于插入排序算法，它的证明是这样的：

设下标j为目前正在排序的数字的索引，开始时j = 1（C++中索引从0开始，我们这里从第二个元素开始排，至于为什么，请往下读）
循环不变式：“for循环每次开始时，A[0…j-1]是有序的”

接下来我们证明三条性质：

初始化：循环的第⼀次迭代之前，循环不变式为真
保持：如果循环的某次迭代之前循环不变式为真，那么下次迭代之前它仍为真
终止：终止时不变式要能做到符合结果（比如：完成排序）

证明：

1.初始化：显然，j = 1时，A[0…j-1]就是A[0]，只有一个数字，当然是符合循环不变式的

2.保持：若 A[0..j-1] 有序，将 A[j] 插入后，A[0..j] 仍有序

3.终止：终止时，当 j = n 时，A[0..n] 整体有序，排序完成

因此你可以看到，事实上，循环不变式就是用来规范证明算法正确性的工具

如果你对数学归纳法比较熟的话，很容易发现其实循环不变式就是数学归纳法的一个变种

如何找循环不变式？

由于算法是一步步执行的，那么如果每一步（包括初试和结束）都满足一个共同的条件，那么这个条件就是要找的循环不变式（loop invariant）

一个例子：

二分查找

不变式：若目标值存在，则必在子数组 A[l..r] 中

证明要点：

初始化：l=0, r=n-1，覆盖整个数组

保持：根据中间值比较调整边界，目标值仍在新区间内

终止：l > r 时子数组为空，目标不存在 → 返回 -1

我们发现，三条性质都符合我们的要求（初始化和保持满足不变式、终止符合要求的结果），所以算法正确

循环不变式不只是理论工具——它强迫你在写循环时明确“我试图维护什么”。这种思维习惯能显著减少代码错误。

——《算法导论》核心思想

插入排序

算法原理：

插入排序与我们手动整理一副牌的过程类似（这里我们引用算法导论上的比喻）

(注意，目前为了易读，我们讨论升序排序，对于非升序，参考GitHub:《算法导论》笔记src/insertion_sort(插入排序).h中的注释

想象一下：你现在右手放着一副乱序的牌，左手开始时什么都没有
我们规定：右手的牌是无序的，左手始终有序
那么，我们现在从右手拿出一张牌，放到左手中
此时，你左手的牌仍然有序，因为此时只有一张牌，符合规定

接着，我们去拿下一张牌，这时有两种情况：
1.当前的牌面>=左手牌面
2.当前的牌面<左手牌面
对于1，我们直接将牌放于左手的顶部即可
对于2，我们需要将牌放于左手第一张的下面

让我们重复这个过程：
1.取出一张牌，我们记录它的值为key
2.从左手的第一张开始，逐个比较(我们记为A[j])，直到key<=A[j]，执行3；
3.那么此时，A[j+1]就是key这个值在左手上的正确位置，我们令A[j+1]=key，
相当于把key插入到对应位置
4.执行1-3，直到整个数列有序

问题是，在计算机中，我们没办法执行/* by 01130.hk - online tools website : 01130.hk/zh/webstatus.html */ 插入这个操作，更具体的说，令A[j+1]=key时，会丢失A[j+1]的值

此时想想排牌时的操作：当我们找到合适位置时，我们会将它右侧的所有牌右移一点，/* by 01130.hk - online tools website : 01130.hk/zh/webstatus.html */ 腾出一个空位来

那么在算法中，我们应该怎么办呢？

很简单，我们做一点点修改：

在上述的过程2中，如果我们发现key>A[j]，我们令A[j+1] = A[j]

可以试验一下：
假设左手牌为：2，4
当前的key = 3
当前的j = 1（C++索引从0开始）
执行2:由于4>key，我们让A[j+1] = A[j]，即A[2] = A[1]

那么，此时A[j]已经复制到了A[j+1]，我们无论怎么操作都不会丢失A[j]的数据，相当于腾出来了一个空位

继续执行2: 此时的j = 0，A[j] = A[0] = 2<key，执行3

执行3: 此时，A[j+1]就是key在左手的正确位置，所以令A[j+1]=key，而此时的A[j+1]就是上一轮的A[j]（因为每次j都会-1）

而上一轮的A[j]已复制到上一轮的A[j+1]也就是当前的A[j+2]

所以我们可以直接令A[j+1]=key，不会丢失任何数据

只要我们持续这个操作，右手的所有牌最终都会正确地到达左手的正确位置

如何形式化的验证算法正确性：

算法导论给我们提供了一个方法，类似数学归纳法--“循环不变式”

关于循环不变式的详解：参考docs/循环不变式.md

我们来证明插入排序的循环不变式

如何找循环不变式？

由于算法是一步步执行的，那么如果每一步（包括初始和结束）都满足一个共同的条件，那么这个条件就是要找的循环不变式（loop invariant）

显然的，我们一直在试图维护左手牌堆是有序的这个性质
那么，插入排序的循环不变式就是：循环中，A[0…j-1]是有序的

接下来，我们证明循环不变式的三条性质：

1.初始化：显然，j = 1时，A[0…j-1]就是A[0]，只有一个数字（这里我们提前将一张右手牌放入左手，并不影响结果），当然是符合循环不变式的
2.保持：若 A[0..j-1] 有序，将 A[j] 插入后，A[0..j] 仍有序
3.终止：终止时，当 j = n 时，A[0..n] 整体有序，排序完成

因此，插入排序最终被证明为正确的