矩阵中最短路径问题：从左上角到右下角的高效求解

矩阵作为一种常见的数据结构，广泛应用于计算机图形学、地理信息系统、图像处理等众多领域。在这些应用场景中，常常需要在矩阵所代表的空间中寻找最优路径。例如，在地图导航中，地图可抽象为矩阵，每个元素代表不同的区域属性，寻找从起点到终点的最短路径能够帮助用户规划最优行程。本文聚焦于在一个给定的矩阵中，找出从左上角到右下角的最短路径，这一问题不仅考验算法设计能力，也具有重要的实际意义。

二、问题定义

给定一个 m x n 的矩阵 matrix，其中每个元素 matrix[i][j] 表示从位置 (i, j) 移动到相邻位置（上、下、左、右，前提是不超出矩阵边界）的代价。我们的目标是找到一条从左上角 (0, 0) 到右下角 (m - 1, n - 1) 的路径，使得路径上所有位置的代价之和最小，并返回这个最小代价。

三、问题分析

3.1 暴力枚举法的不足

一种直观的解法是采用暴力枚举法，即尝试所有可能的从左上角到右下角的路径，计算每条路径的代价，然后找出代价最小的路径。然而，矩阵中路径的数量随着矩阵规模的增大呈指数级增长。对于一个 m x n 的矩阵，可能的路径数量为 \(O(2^{m + n})\)，这使得暴力枚举法在面对较大规模矩阵时，计算量巨大，效率极低。

3.2 动态规划的可行性

动态规划是解决此类最优子结构问题的有效方法。对于矩阵中的每个位置 (i, j)，到达该位置的最短路径可以通过其相邻位置（(i - 1, j)、(i, j - 1)，前提是这些位置在矩阵内）的最短路径推导得出。我们可以定义一个二维数组 dp[i][j] 来表示从左上角 (0, 0) 到位置 (i, j) 的最短路径代价。通过状态转移方程，逐步填充 dp 数组，最终得到从左上角到右下角的最短路径代价。