30、滤波器设计：原理、方法与应用

滤波器设计：原理、方法与应用

1. 引言

滤波器在信号处理领域中扮演着至关重要的角色，它能够对信号进行过滤、提取和转换等操作。本文将深入探讨滤波器设计的相关知识，包括不同类型滤波器的设计方法、特性以及应用场景。

2. s 平面到 z 平面的映射

2.1 映射特性

存在一种 s 平面到 z 平面的映射，它与双线性变换非常相似。当 $T_s = 2$ 时，该映射可视为两个映射的级联。第一个是双线性变换，第二个是将 $z$ 替换为 $-z$ 的映射。这种映射会使 z 平面上的点关于原点对称，对于单位圆上的点，相当于旋转了 180°。即 $H(z_1)| {z_1 = e^{j\omega}} = H(-z)| {z = e^{j\omega}} = H(-e^{j\omega}) = H(e^{j(\omega + \pi)})$。

2.2 应用场景

由于单位圆旋转了 180°，此映射可用于将低通模拟滤波器转换为高通数字滤波器，反之亦然。

3. 最小二乘法滤波器设计

3.1 Padé 逼近法

3.1.1 基本原理

Padé 逼近法用于寻找一个滤波器的参数，使其系统函数能够近似给定的单位样本响应。以 $p = q = 1$ 为例，需要求解一组线性方程来确定 $b(0)$、$b(1)$ 和 $a(1)$。

3.1.2 示例

假设期望的单位样本响应已知，通过求解线性方程可得：
- 先从最后一个方程求解出 $a(1)$。
- 再利用前两个方程求解