25、离散时间系统的实现与分析

离散时间系统的实现与分析

1. 离散时间系统乘法运算的合并

在离散时间系统中，有时可以将两次乘法运算合并。以某系统的差分方程为例，若先计算 (x(n) - y(n - 1))，再乘以 (a)，则只需进行一次乘法运算。这种结构有两个延迟环节，但仅需一次乘法，不过相较于直接形式，它多了一个延迟环节，因此不是典范结构。

对于二阶全通滤波器，通过合并差分方程中的项，若能先计算 (s(n - 1) - y(n - 1)) 和 (x(n) - y(n - 2))，再进行乘法运算，那么仅需两次乘法。这种结构在增加延迟的情况下，比直接形式实现节省了两次乘法。

2. 格型滤波器的实现与分析

2.1 FIR 滤波器的格型实现

要使用格型滤波器结构实现系统，需先找到生成多项式 (H(z)) 的反射系数。首先要对 (H(z)) 进行归一化，使首项系数为 1。例如，通过逐步计算得到反射系数 (r_2 = 0.1905) 和 (r_1 = 0.4)，从而确定格型滤波器的结构。

2.2 格型滤波器的系统函数与最小相位特性

• 系统函数 (A(z)) 的求解 ：对于给定的 FIR 格型滤波器，通过逐步递推的方式求解系统函数 (A(z))。例如，已知反射系数 (r_1)、(r_2) 和 (r_3)，可得到 (A(z) = 1 + 0.78z^{-1} + 0.54z^{-2} + 0.2z^{-3})。若 (A(z)) 的零点都在单位圆内，则系统具有最小相位。由于生成 (A(z)) 的反射系数幅值有界，所以该系统具有最小相位。
• 系统函