24、离散时间系统实现的深入剖析

离散时间系统实现的深入剖析

1. 输出噪声方差与性能优化

输出噪声方差的表达式为：$a_{y}^{2} = \frac{1}{2\pi j}\oint_{|z| = 1}\frac{5}{1 - z^{-1}}dz$ ，利用柯西留数定理计算该积分，我们发现当极点靠近单位圆（$r \to 1$）时，输出噪声的方差会增大。

为了改善数字滤波器的噪声性能，可以在量化之前使用 $(2B + 1)$ 位加法器来累加乘积和。此时，直接形式 I 网络的差分方程会相应变化。这样，累加和以 $2B + 1$ 位的精度进行计算，然后再量化为 $B + 1$ 位，以便将 $j(n - 1)$ 和 $j(n - 2)$ 存储在 $(B + 1)$ 位延迟寄存器中，并生成 $(B + 1)$ 位的输出 $j(n)$。由于只有一个量化器对乘积和进行量化，图 8 - 19 中噪声源的方差从 $5\sigma_{e}^{2}$ 降低到 $\sigma_{e}^{2}$。

2. 极点 - 零点配对与排序规则

对于级联或并联形式实现的滤波器，在选择哪些极点与哪些零点配对，以及级联结构中级联节的顺序方面具有很大的灵活性。配对和排序会对输出噪声功率的形状和总输出噪声方差产生显著影响。一般遵循的规则如下：
1. 在 $z$ 平面中，将最靠近单位圆的极点与最靠近它的零点配对，持续进行此配对过程，直到所有极点和零点都完成配对。
2. 然后根据极点与单位圆的接近程度，对得到的二阶节进行级联排序。排序可以按照极点与单位圆接近程度的递增或递减顺序进行。具体采用哪种排序方式取决于多个因素的考虑，包括输出噪声的形状和输出噪声方差。

3. 离散时间系统定点实现中的溢出问题