23、离散时间系统实现技术解析

离散时间系统实现技术解析

1. 离散时间系统的基本结构

离散时间系统的实现有多种方式，不同的结构在计算效率、资源利用等方面各有优劣。

1.1 直接形式 II 结构

如果将全极点滤波器 $1 /A(z)$ 的输出记为 $w(n)$，该结构可由一对耦合差分方程描述。通过观察发现两组延迟环节延迟的是同一序列，因此可以进行简化。当 $p = q$ 时，其结构如图 8 - 8 所示。直接形式 II 结构的计算要求如下：
| 计算要求 | 数量 |
| ---- | ---- |
| 乘法次数 | 每个输出样本 $p + q + 1$ 次 |
| 加法次数 | 每个输出样本 $p + q$ 次 |
| 延迟次数 | $\max(p, q)$ |

直接形式 II 结构被认为是规范的，因为对于给定的 $H(z)$，它使用了最少的延迟次数。

1.2 级联结构

级联结构是通过对 $H(z)$ 的分子和分母多项式进行因式分解得到的。这种因式分解对应于一系列一阶滤波器的级联，每个一阶滤波器有一个极点和一个零点。通常，系数 $n_k$ 和 $B_k$ 是复数，但如果 $h(n)$ 是实数，$H(z)$ 的根会以共轭对的形式出现，这些复共轭因子可以组合成具有实系数的二阶因子。例如，一个六阶 IIR 滤波器可以通过三个二阶直接形式 II 系统的级联来实现，如图 8 - 9 所示。系统以级联形式实现具有很大的灵活性，例如极点和零点有不同的配对方式，各部分也有不同的排列顺序。

1.3 并联结构

另一种方法是使用部分分式展开来扩展系统函数。例如，当 $p