优化算法：双指针、位操作与区间管理在C++中的应用-优快云博客

2023.9.26

1、双指针

核心思想：将复杂度为O(n^2)的暴力算法优化到O(n)

//朴素做法
for(int i=0;i<n;i++)
    for(int j=0;j<=i;j++)
        if(check(j,i))
        {res = max(res,i-j+1);
            }

//一般模板
for(i = 0;i < n;i++)
{
    while(j<i&&check(i,j)) j++;
    //每道题目的具体逻辑
}

//最长连续不重复子序列
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n;
int q[N],s[N];

int main(){
    scanf("%d",&n);
    
    for(int i = 0 ; i<n ; i++)  scanf("%d",&q[i]);
    int res = 0;
    for(int i =0,j=0;i<n;i++){
        s[q[i]]++;
        while(s[q[i]]>1){
            s[q[j]]--;
            j++;
        }
    res = max(res,i-j+1);
    }
    
    cout<<res<<endl;
}

2、位运算

求n的第k位数字: n >> k & 1
返回n的最后一位1：lowbit(n) = n & -n

//求出数列中每个数的二进制表示中1的个数
#include <iostream>
using namespace std;

int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
      
    while(n--){
        int x,s=0;
        scanf("%d",&x);
        for(int i=x ;i ; i-=i&-i) s++;//每次减去最后一个1，减了几次就有几个1
        printf("%d ",s);
    }
    return 0;
}

3、离散化

vector<int> alls; // 存储所有待离散化的值
sort(alls.begin(), alls.end()); // 将所有值排序
alls.erase(unique(alls.begin(), alls.end()), alls.end());   // 去掉重复元素

// 二分求出x对应的离散化的值
int find(int x) // 找到第一个大于等于x的位置
{
    int l = 0, r = alls.size() - 1;
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (alls[mid] >= x) r = mid;
        else l = mid + 1;
    }
    return r + 1; // 映射到1, 2, ...n..
    //return r; //映射到0,1,....n-1
}

//计算区间和
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef pair<int,int> PII;
const int N = 300010;

int n,m;
int a[N],s[N];

vector<int> alls;//存入所有用到的下标
vector<PII> add,query;//存入下标和对应增加的值、存入需要计算的区间

int find(int x){
    //二分查找离散化后的坐标位置
    int l = 0 ,r = alls.size()-1;
    while(l<r){
        int mid = l+r>>1;
        if(alls[mid]>=x) r=mid;
        else l = mid+1;
    }
    return r+1;
}

int main(){
    cin>>n>>m;
    
    for(int i =0;i<n;i++)
    {
        int x,c;
        cin>>x>>c;
        add.push_back({x,c});
        
        alls.push_back(x);
    }
    
    for(int i=0;i<m;i++)
    {
        int l,r;
        cin>>l>>r;
        query.push_back({l,r});
        alls.push_back(l);
        alls.push_back(r);
    }
    //区间去重
    sort(alls.begin(),alls.end());
    alls.erase(unique(alls.begin(),alls.end()),alls.end());
    
    //处理插入
    for(auto item:add)
    {
        //先找到离散化后的下标位置
        int x = find(item.first);
        a[x]+=item.second;
    }
    
    //预处理前缀和，下标从1开始
    for(int i=1;i<=alls.size();i++) s[i]=s[i-1]+a[i];
    
    //处理查询
    for(auto item:query)
    {
        //找到离散化后的左右区间下标
        int l = find(item.first),r = find(item.second);
        cout<<s[r]-s[l-1]<<endl;
    }
    return 0;
}

//unique函数在JAVA中的实现
vector<int>::iterator unique(vector<int> &a) {
    int j = 0;
    for (int i = 0; i < a.size(); ++i) {
        if (!i || a[i] != a[i - 1])//如果是第一个元素或者该元素不等于前一个元素，即不重复元素，我们就把它存到数组前j个元素中
            a[j++] = a[i];//每存在一个不同元素，j++
    }
    return a.begin() + j;//返回的是前j个不重复元素的下标
}

4、区间合并

// 将所有存在交集的区间合并
//按区间的左端点排序
void merge(vector<PII> &segs)
{
    vector<PII> res;

    sort(segs.begin(), segs.end());

    int st = -2e9, ed = -2e9;
    for (auto seg : segs)
        if (ed < seg.first)
        {
            if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
            st = seg.first, ed = seg.second;
        }
        else ed = max(ed, seg.second);

    if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});

    segs = res;
}

//区间合并
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef pair<int,int> PII;

void merge(vector<PII> &segs){
     vector<PII> res;
    //左端点排序
    
    sort(segs.begin(), segs.end());
    //左右端点初始化，定义为无穷
    int st = -2e9, ed = -2e9;
    for (auto seg : segs){
        if (ed < seg.first)
        {   // 初始的[-无穷，-无穷]区间要跳过，不能装入
            if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});
            st = seg.first, ed = seg.second;
        }
        else ed = max(ed, seg.second);
    }
    // 有两个作用，1.是防止n为0，把[-无穷，-无穷]压入；
    //2.是压入最后一个（也就是当前）的区间，若n>=1，if可以不要
    if (st != -2e9) res.push_back({st, ed});

    segs = res;

}

int main(){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    vector<PII> segs;
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
        int l, r;
        scanf("%d%d", &l, &r);
        segs.push_back({l, r});
    }

    merge(segs);

    cout << segs.size() << endl;

    return 0;
}