【基础算法（一）】排序、二分

2023.9.19

1、快速排序—分治 

        步骤：确定分界点、调整区间、递归处理左右两段区间

        期望值：nlogn

        【快排模板】

void quick_sort(int q[], int l, int r)
{
    if(l>=r)
        return;

    //注意边界问题，防止无限递归
    int i = l-1, j=r+1, x=q[l+r>>1];
    while(i<j)
    {
        do i++ ; while(q[i]<x);
        do j-- ; while(q[j]>x);
        if(i<j) swap(q[i],q[j]);

    }
    quick_sort(q,l,j);
    quick_sort(q,j+1,r);         
}

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2、归并排序

        步骤：确定分界点、递归排序左边和右边区间、归并两个有序的数组

        稳定的：nlogn

        【归并模板】

void merge_sort(int q[], int l, int r)
{
    if (l >= r) return;
    //取点
    int mid = l + r >> 1;

    //分组
    merge_sort(q, l, mid);
    merge_sort(q, mid + 1, r);

    //归并
    int k = 0, i = l, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= r)
        if (q[i] <= q[j]) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
        else tmp[k ++ ] = q[j ++ ];

    //合并剩下的
    while (i <= mid) tmp[k ++ ] = q[i ++ ];
    while (j <= r) tmp[k ++ ] = q[j ++ ];
    
    合并
    for (i = l, j = 0; i <= r; i ++, j ++ ) q[i] = tmp[j];
}

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3、二分法

        （1）整数二分

                步骤：找中间值、判断中间值是否满足条件、改变区间端点

                [两种模板注意区分]：l=mid时，mid选取要加1；r=mid时，mid选取不用变。

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r >> 1;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + r + 1 >> 1;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}

        （2）浮点数二分

bool check(double x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

double bsearch_3(double l, double r)
{
    const double eps = 1e-6;   // eps 表示精度，取决于题目对精度的要求
    while (r - l > eps)
    {
        double mid = (l + r) / 2;
        if (check(mid)) r = mid;
        else l = mid;
    }
    return l;
}

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