并查集及其应用——kruscal法求最小生成树

并查集维基百科中是这样描述的：并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。（参考《算法导论》）

并查集有以下基本操作：

void make_set(int x)：生成只包含x单个元素的集合

int find_set(int x)：查找包含元素x的集合“代表”（集合树中的根节点）

void union_set(int x,int y)：合并包含x和包含y的两个集合。

这里给出以上操作的朴素实现（O(n*n)）以及经过“路径压缩”和“按秩合并”优化后的实现（O(m*a(n))），这里m是总的操作数，其中操作make_set的操作数为n（即一共有n个元素），一般O(m*a(n))不超过O(5*n)。

之后，利用优化后的操作实现kruscal方法求最小生成树。

#include <iostream> #include <cstdlib> using namespace std; const int max_size = 100; const int max_value = 0xffff; struct ENode { int u; int v; int w; bool operator<(const ENode & n)const { return w>n.w; } }edges[max_size*max_size],tree[max_size]; int g[max_size][max_size]; int n = 0; int e_num=14; int top=0; int p[max_size]; int r[max_size]; /* * normal union-operation without optimization */ /* void make_set(int x)//make set with singal x and init its parent (set-id) to itself { int i = 0; p[x]=x; } int find_id(int x)//find the set-id (root node) which x belong to. { while(p[x]!=x) x=p[x]; return x; } void union_set(int x,int y)//union set1 which x belong to and set2 which y belong to. { int id1 = find_id(x); int id2 = find_id(y); if(id1==id2) return; else p[id1]=p[id2]; } */ /* * union-operation with path-compress and rank optimization */ void make_set(int x) { p[x]=x; r[x]=1; } //find root node (set-id) of the set which x belong to. //When finding, compress the p[x] to the root.It will reduce the find-time. int find_set(int x) { if(p[x]!=x) p[x]=find_set(p[x]); return p[x]; } //union set1 which x belong to and set2 which y belong to. void union_set(int x,int y) { int id1=find_set(x); int id2=find_set(y); if(r[id1]>r[id2])//the h of set1 is higher than set2 p[id2]=id1; else if(r[id1]<r[id2])//both id1->id2 and id2->id1 are ok. p[id1]=id2; else { r[id2]++; p[id1]=id2; } } int com(const void * x,const void * y) { ENode *e1 = (struct ENode *)x; ENode *e2 = (struct ENode *)y; return *e1<*e2; } void kruscal() { int i = 0; for(i=0;i<n;i++) make_set(i); for(i=0;i<e_num;i++) { ENode e = edges[i]; if(e.u!=e.v && g[e.u][e.v]!=max_value) if(find_set(e.u)!= find_set(e.v)) { tree[top++]=e; union_set(e.u,e.v); } } } int main() { cin>>n; int i =0; int j =0; int c=0; for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<n;j++) if(i==j) g[i][j]=0; else g[i][j]=max_value; while(c<e_num) { cin>>i; cin>>j; cin>>g[i][j]; g[j][i]=g[i][j]; edges[c].u=i; edges[c].v=j; edges[c].w=g[i][j]; c++; } qsort(edges,e_num,sizeof(struct ENode),com); kruscal(); for(i=0;i<top;i++) { cout<<tree[i].u<<" "<<tree[i].v<<" "<<endl; } }