HDU 5155 Harry And Magic Box --DP

最新推荐文章于 2019-09-04 14:52:00 发布

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本文介绍了一种求解在nxm棋盘上每行每列至少放置一个棋子的不同方法数量的算法。通过动态规划的方式，利用组合数学中的组合公式进行计算，详细解释了状态转移方程。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define Mod 1000000007
#define lll __int64
using namespace std;

lll c[55][55];
lll dp[55][55];

void calc()
{
    for(int i=0;i<=51;i++)
    {
        c[i][0] = 1;
        for(int j=1;j<=i;j++)
            c[i][j] = (c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%Mod;
    }
}

int main()
{
    int n,m,i,j,k,t;
    calc();
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        dp[0][0] = 1;
        for(i=1;i<=n;i++)               //第i行
        {
            for(k=1;k<=m;k++)           //这一行有多少个亮
            {
                for(j=0;j<=k;j++)       //上一行有多少个亮
                {
                    for(t=max(1,k-j);t<=k;t++)   //这一行放多少个,至少放一个
                    {
                        dp[i][k] = (dp[i][k]+dp[i-1][j]*c[m-j][k-j]%Mod*c[j][t-(k-j)]%Mod)%Mod;
                    }
                }
            }
        }
        printf("%I64d\n",dp[n][m]%Mod);
    }
    return 0;
}

题意：nxm的棋盘，要求每行每列至少放一个棋子的方法数。

解法：首先可以明确是DP，这种行和列的DP很多时候都要一行一行的推过去，即至少枚举此行和前一行。

dp[i][j]表示前 i 行有 j 列都有了棋子，且每行也有棋子。

这题做法：从第1行到第n行，枚举这一行有k列已至少有一个，再枚举前一行有j列至少有一个，然后枚举这一行新放多少个棋子t，至少一个（因为每行至少一个）

那么有 dp[i][k] += dp[i-1][j]*C[m-j][k-j]*C[j][t-(k-j)], C表示组合数

C[m-j][k-j]表示新增的那些原来没棋子现在有棋子的列k-j列分别可以放到上一行没放的地方m-j个地方，这样放会增加至少有一个棋子的列

C[j][t-(k-j)]表示剩下的在原来那j个有棋子的列去放，这样放不会增加至少有一个棋子的列。

原网址：http://www.cnblogs.com/whatbeg/p/4200116.html