1.算法入门系列之分治法

1. 递归

递归是一种程序设计技术， 一般可以理解为函数或方法不停的调用自身，最终形成多种嵌套调用的形式。

递归的三要素：

1. 递归终止条件 递归需要一个明确的临界点，程序一旦到达了这个临界点，就不用继续往下递归， 防止无限递归。

2. 终止处理办法在递归的临界点对应一种简单的情景，这种情景下，应当直接给出问题的解决方案。

3. 递归处理方法递归问题必须可以分解为若干个规模较小、与原问题形式相同 的子问题，这些子问题可以用相同的思路来解决，并且合并得到原问题答案。

递归调用过程：
下面以求阶乘说明递归调用过程：

2. 分治法

分治算法的核心思想是将原问题划分为n个规模较小而结构与原问题相似的子问题；递归的解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。
分治法分为三个阶段：

1. 分解：将原问题分解为一系列子问题，如果子问题的规模任不够小则再继续划分，如此递归下去，直到子问题规模足够小很容易求出解为止。
2. 解决：求解规模足够小的子问题。
3. 合并：将求出的小规模的问题合并为一个更大规模问题的解，自底向上逐步求出原问题的解。
   

分治算法框架程序：

设计划分策略，把原问题P划分为k个规模较小的子问题，这是分治法的关键步骤，一般遵循以下原则：

1. 平衡子问题原则：分割出的k个子问题规模最好大致相当。
2. 独立子问题原则：分割出的k个子问题重叠越少越好，最好k个子问题相互独立，不存在重叠子问题。

3. Master定理

1. master定理
   分治算法的时间复杂度分析一般需要借助Master定理。
   $$T(n)=aT(n/b)+f(n)$$
   其中：

• $n$是问题规模大小；

• $a$是原问题的子问题个数；

• $n/b$是每个子问题的大小，这里假设每个子问题有相同的规模大小；

• $f(n)$是将原问题分解成子问题和将子问题的解合并成原问题的解的时间。

  对上面的式子进行分析，得到三种情况:
  
  Master的三种情况可以简要记忆为：

  • 若函数$n^{lo{g}_b^a}>f(n)$ ，如情况1,则时间复杂度$T(n)=O(n^{lo{g}_b^a})$
  • 若函数$n^{lo{g}_b^a}<f(n)$ ，如情况3,则时间复杂度$T(n)=O(f(n))$
  • 若函数$n^{lo{g}_b^a}=f(n)$ ，如情况2,则时间复杂度$T(n)=O(n^{lo{g}_b^a}log(n))$

2. Master定理应用

   • 二分查找
     $T(n)=T(n/2)+O(1)$
     分析：$a=1,b=2,f(n)=O(1),由此可得：n^{lo{g}_b^a}=0=O(1),所以T(n)=n^{lo{g}_b^a}log(n)=log(n)$

   • 归并排序
     $T(n)=2T(n/2)+O(n)$
     分析：$a=2,b=2,f(n)=O(n)，由此可得：n^{lo{g}_b^a}=n=O(n),所以T(n)=nlog(n)$

   • 二叉树遍历
     $T(n)=2T(n/2)+O(1)$
     分析：$a=2,b=2,f(n)=O(1)由此可得：n^{lo{g}_b^a}=n>O(1)，所以T(n)=O(n)$