22、高效固定参数算法的前景

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#固定参数算法 # 顶点覆盖问题 # 约束二分顶点覆盖

高效固定参数算法的前景

在算法领域，高效解决问题一直是追求的目标。本文将介绍几种固定参数算法，包括顶点覆盖问题、约束二分顶点覆盖问题以及最大可满足性问题的相关算法，探讨它们的实现原理和性能。

1. 一般顶点覆盖问题

顶点覆盖问题是图论中的经典问题，目标是找到一个最小的顶点集合，使得图中的每条边至少有一个端点在该集合中。为了解决这个问题，有两种主要的方法。

1.1 问题内核归约法

该方法的基本思想是将给定的问题实例归约为一个新的实例，新实例的大小仅由参数 $k$ 的函数界定，然后在新实例上进行穷举搜索。具体步骤如下：
1. 找出图中度数大于 $k$ 的顶点集合 $H$。
2. 如果 $|H| > k$，则不存在大小不超过 $k$ 的顶点覆盖，算法退出。
3. 删除集合 $H$ 中的顶点及其关联的边，得到新图 $G_0$。
4. 令 $k_0 = k - |H|$，并删除 $G_0$ 中的孤立顶点。
5. 如果 $|E_0| > kk_0$，则不存在大小不超过 $k$ 的顶点覆盖，算法退出。
6. 在 $G_0$ 上进行穷举搜索，找到大小为 $k_0$ 的最小顶点覆盖。
7. 图 $G$ 的最小顶点覆盖是 $G_0$ 的最小顶点覆盖与集合 $H$ 的并集。

这个过程可以用以下流程图表示：

graph TD
    A[输入图 G 和正整数 k] --> B[找出度数 > k 的顶点集合 H]
    B --> C{ |H| > k? }
    C -- 是 --> D[输出“不存在大小 ≤ k 的顶点覆盖”，退出]
    C -- 否 --> E[删除 H 及关联边得到 G0]
    E --> F[k0 = k - |H|，删除 G0 孤立顶点]
    F --> G{ |E0| > kk0? }
    G -- 是 --> D
    G -- 否 --> H[在 G0 上穷举搜索大小为 k0 的最小顶点覆盖]
    H --> I[图 G 的最小顶点覆盖 = G0 的最小顶点覆盖 ∪ H]
    I --> J[输出结果]

Buss 算法就是基于这种思想，新实例的大小为 $O(k^2)$，运行时间为 $O(kn + (2k^2)kk^2)$。

1.2 有界搜索树法

该方法的核心是识别出一个小的元素子集，问题的任何可行解中至少包含该子集中的一个元素。以顶点覆盖问题为例，其基本步骤如下：
1. 构建一棵高度为 $k$ 的完全二叉树。
2. 将根节点标记为 $(G, \varnothing)$。
3. 递归地标记所有树节点：对于已标记的节点 $(H, S)$，选择图 $H$ 中的任意一条边 $(u, v)$，将左子节点标记为 $(H - u, S \cup {u})$，右子节点标记为 $(H - v, S \cup {v})$。
4. 如果存在标记为 $(\varnothing, S_0)$ 的节点，则 $S_0$ 是大小不超过 $k$ 的顶点覆盖；否则，不存在这样的顶点覆盖。

该算法的时间复杂度为 $O(2kn)$。如果将 Buss 算法作为预处理阶段，再直接使用搜索树算法，可得到运行时间为 $O(kn + 2^kk^2)$ 的顶点覆盖算法。

1.3 改进的搜索树算法

Balasubramanian 等人提出的改进搜索树算法，通过区分图中顶点的度数进行细致的情况分类，以减少搜索树的大小。具体区分五种情况：
1. 度数为 1 的顶点。
2. 度数为 2 的顶点。
3. 度数至少为 5 的顶点。
4. 度数为 3 的顶点。
5. 剩余的图（4 - 正则图，即每个顶点的度数都为 4）。

下面详细介绍前两种情况：
- 度数为 1 的顶点 ：如果顶点 $x$ 只有一个邻居 $y$，为了覆盖它们之间的边，选择 $y$ 作为顶点覆盖集的元素总是更有利，因为这样可能覆盖更多的边，同时避免了搜索树的分支，从而减小了搜索树的大小。
- 度数为 2 的顶点 ：假设度数为 2 的顶点 $x$ 有邻居 $y$ 和 $z$，分三种子情况：
- 若 $y$ 和 $z$ 之间有边，则总是选择 $y$ 和 $z$ 加入顶点覆盖集，避免递归分支。
- 若 $y$ 和 $z$ 除 $x$ 外至少有两个邻居 $a$ 和 $b$，则递归分支，递归树大小 $T(k)$ 满足递推关系 $T(k) = 1 + T(k - 2) + T(k - 3)$，该递推关系的解给出了树大小的指数因子 $(1.3248)^k$。
- 若 $y$ 和 $z$ 除 $x$ 外只有一个邻居 $a$，则选择 ${a, x}$ 作为顶点覆盖集，避免递归分支。

这种改进的搜索树算法最终得到的运行时间为 $O(kn + (1.3248)kk^2)$。

2. 约束二分顶点覆盖问题

约束二分顶点覆盖问题（CBVC）源于可重构 VLSI 的应用。给定一个二分图 $G = (V_1, V_2, E)$ 和两个正整数 $k_1$ 和 $k_2$，问题是是否存在两个子集 $C_1 \subseteq V_1$ 和 $C_2 \subseteq V_2$，使得 $|C_1| \leq k_1$，$|C_2| \leq k_2$，并且图中的每条边至少有一个端点在 $C_1 \cup C_2$ 中。

由于该问题是 NP - 完全问题，实际中通常使用启发式算法。考虑到参数 $k_1$ 和 $k_2$ 通常较小，指数时间算法在问题实例大小上线性的情况下是可以接受的。

CBVC 与顶点覆盖问题有相似之处，但由于存在两个参数且图是二分图，顶点覆盖算法不能直接应用。不过，问题内核归约法和有界搜索树法仍然适用。基于顶点的度数，这两种方法的结合产生了一个运行时间为 $O((k_1k_2)n + (1.47)^{k_1 + k_2}k_1k_2)$ 的算法。该算法主要处理“度数至少为 3 的顶点”和“度数至多为 2 的顶点”这两种情况，其中度数至多为 2 的顶点情况需要特别注意，因为可能存在多个最小解。

当将 CBVC 从 2 个参数推广到 3 个参数时（即 3CBVC），可以实现与 CBVC 效率相当的解决方案，但在 VLSI 设计中，高效的参数化算法仍面临诸多挑战。

3. 最大可满足性问题

最大可满足性问题（MaxSat）在近似算法领域广为人知，并且具有重要的实际应用。该问题的实例是一个合取范式（CNF）的布尔公式，目标是找到一个真值赋值，使得满足的子句数量最多。MaxSat 的判定版本是 NP - 完全问题，即使子句最多包含两个文字（即 Max2Sat）也是如此。

3.1 近似性结果

理论上，如果 MaxSat 存在多项式时间近似方案（PTAS），那么 $P = NP$。
已知 MaxSat 可以近似到比例 0.3193。对于特殊情况，有更好的近似界：
- MaxqSat（每个子句恰好包含 $q$ 个文字）可以近似到比例 $\frac{2 - q}{1 - 2^{-q}}$。
- Max3Sat 可以近似到比例 0.2489。
- Max2Sat 可以近似到比例 0.0741。
另一方面，MaxqSat（$q \geq 3$）不能近似到比例 $\frac{2 - q}{1 - 2^{-q}} - \epsilon$（对于任意 $\epsilon > 0$），Max2Sat 不能近似到比例 0.0476。

这些结果总结在以下表格中：
| 问题 | 近似比例 | 不可近似比例 |
| ---- | ---- | ---- |
| MaxSat | 0.3193 | - |
| MaxqSat ($q \geq 3$) | $\frac{2 - q}{1 - 2^{-q}}$ | $\frac{2 - q}{1 - 2^{-q}} - \epsilon$ ($\epsilon > 0$) |
| Max3Sat | 0.2489 | - |
| Max2Sat | 0.0741 | 0.0476 |

3.2 参数化版本

MaxSat 的自然参数化版本要求确定一个 CNF 公式 $F$ 中是否至少有 $k$ 个子句可以被满足。对于每个公式 $F$，总是存在一个真值赋值满足至少 $\lceil m/2 \rceil$ 个子句（$m$ 是子句数量），这可以在 $O(|F|)$ 时间内检查。

Cai 和 Chen 证明了对于某个常数 $q$，参数化的 MaxqSat 在固定参数可解类（FPT）中，这意味着优化类 MaxSNP 中的每个问题也在 FPT 中。然而，他们的算法依赖于子句的有界性。

Mahajan 和 Raman 引入了一种更有意义的参数化，即询问一个 CNF 公式 $F$ 中是否至少有 $\lceil m/2 \rceil + k$ 个子句可以被满足。但最初的参数化仍然有意义，因为从非参数化的角度来看，指数因子底数较小且指数为 $k$ 的算法可能是有价值的。

3.3 Mahajan 和 Raman 的算法

Mahajan 和 Raman 提出了一个运行时间为 $O(|F| + k^2\varphi^k) \approx O(|F| + k^2(1.6181)^k)$ 的算法，用于确定一个 CNF 公式 $F$ 中是否至少有 $k$ 个子句可以被满足。该算法结合了问题内核归约法和有界搜索树法（这里更适合称为分支树法）。

问题内核归约 ：区分“大”子句（包含至少 $k$ 个文字）和“小”子句（包含少于 $k$ 个文字）。如果 $F$ 包含至少 $k$ 个大子句，则至少有 $k$ 个子句可以被满足。因此，后续的分支树法只需要处理小的子句。剩余的“小子句子公式”的大小可以容易地界定为 $O(k^2)$。
分支树法 ：
- 首先，只考虑在 $F$ 中同时以正和负形式出现的变量，因为“纯文字”可以总是设置为真，以增加满足的子句数量。
- 选择一个在 $F$ 中同时以正和负形式出现的变量 $x$，然后分支为两个子公式 $F[x]$ 和 $F[\overline{x}]$，分别对应将 $x$ 设置为真和假。
- 分支树的大小可以容易地界定为 $2^k$。但 Mahajan 和 Raman 使用了一个额外的技巧：
  - 如果选择的变量在 $F$ 中恰好出现两次，则可以进行“消解”，避免递归分支。例如，$F = (x \vee f_1) \wedge (\overline{x} \vee f_2) \wedge G$（$G$ 不包含变量 $x$）可以替换为 $F’ = (f_1 \vee f_2) \wedge G$，并知道 $F$ 中有一个子句可以被满足。
  - 如果变量 $x$ 在 $F$ 中至少出现三次，则分支树的大小 $T(k)$ 满足斐波那契递推关系 $T(k) \leq 1 + T(k - 1) + T(k - 2)$。

这个过程可以用以下流程图表示：

graph TD
    A[输入 CNF 公式 F 和正整数 k] --> B[区分大子句和小子句]
    B --> C{大子句数量 ≥ k?}
    C -- 是 --> D[至少 k 个子句可满足，输出结果]
    C -- 否 --> E[只考虑小子句子公式]
    E --> F[选择同时以正和负形式出现的变量 x]
    F --> G{变量 x 出现次数 = 2?}
    G -- 是 --> H[进行消解，避免分支]
    G -- 否 --> I[分支为 F[x] 和 F[¬x]]
    H --> J[计算满足子句数量]
    I --> J
    J --> K{满足子句数量 ≥ k?}
    K -- 是 --> L[输出“至少 k 个子句可满足”]
    K -- 否 --> M[输出“不存在至少 k 个子句可满足”]

3.4 改进结果

使用更多精心设计的命题公式变换和分裂规则，上述结果可以改进到时间复杂度 $O(|F| + k^2(1.39995)^k)$。基本思想是减少分支树的大小，主要包括：
- 变换规则 ：避免递归分支，如纯文字规则、互补单位子句规则、支配单位子句规则、小子公式规则和星规则。
- 分裂规则 ：根据变量在公式 $F$ 中出现的次数进行区分：
- 变量 $x$ 至少出现 5 次，分支为 $F[x]$ 和 $F[\overline{x}]$。
- 所有变量都恰好出现 4 次，需要处理六个子情况。
- 存在一个变量恰好出现 3 次，需要处理七个子情况。

总结

本文介绍了几种固定参数算法在不同问题中的应用，包括顶点覆盖问题、约束二分顶点覆盖问题和最大可满足性问题。这些算法通过问题内核归约法和有界搜索树法等技术，在一定程度上提高了算法的效率。然而，这些算法仍然有改进的空间，特别是在处理复杂情况和减少指数因子方面。未来的研究可以探索更多的优化策略，结合机器学习等技术，进一步提高算法的性能，以满足实际应用中的需求。同时，对于 VLSI 设计等领域中出现的参数化算法问题，还有许多挑战等待解决。