13、计算模型、黎曼假设与经典数学

计算模型、黎曼假设与经典数学

1. 引言

二十年前，大学毕业生常质疑学习微积分和代数的必要性，认为它们在编程工作中毫无用处。然而，这更多反映的是他们的工作环境，而非编程职业本身的需求。如今，计算机科学需要大量非计算机科学领域的知识，如量子物理学、生物学，尤其是经典数学。可以大胆预测，下一代计算机科学专业的学生将比现在的学生学习更多的经典数学知识。

2. 计算模型

2.1 人类大脑的确定性问题

若假设人类大脑是完全确定性的，那么就会出现责任悖论。因为如果所有反应都是基因预先编程的，人就无需为自己的行为负责。但如果认为人要对某些行为负责，那就意味着大脑不只是对环境的简单确定性反应。

2.2 理论计算机科学对确定性的推广

理论计算机科学早已发展出一套推广确定性的概念体系，其中非确定性和概率算法是最早的推广形式。
- 非确定性机器 ：非确定性机器是计算理论的重要组成部分，但它无法提供进行选择的机制。
- 概率算法 ：概率算法最早在二战期间用于模拟和数值分析。概率图灵机由de Leeuw等人引入，研究表明，概率机器能计算的函数，确定性机器也能计算。这对探讨人类大脑的本质产生了影响，因为如果将人类大脑视为具有无限计算资源的计算设备，那么概率大脑和确定性大脑能计算的函数相同，无法解决责任问题。
- 概率有限自动机 ：M. Rabin引入了概率1 - 路有限自动机。他证明了具有远离1/2的有界概率的1 - pfa只能识别正则语言，即与1 - 路确定性有限自动机识别的语言相同。
- 概率算法的优势 ：R. Freivalds证明了单带概率图灵机可以在n log n时间内识别回文，而确定性机器需要Ω(n)时间。此外，概率算法在素性测试等领域也有重要应用，这引发了对概率、确定性和非确定性机器能力比较的兴趣。但证明具体语言复杂度的下界是一个难题，限制了这种比较的深入进行。

2.3 量子算法

• 量子算法的起源 ：诺贝尔奖获得者Richard Feynman提出量子力学原理，特别是叠加原理对计算的影响。他认为在经典计算机上模拟量子力学可能计算成本很高，这引发了量子计算机比经典计算机具有巨大优势的猜想。
• 量子力学的基础 ：量子化由Max Planck在1900年引入，他假设能量是离散的。量子力学中的所有实体都用希尔伯特空间的对象表示，使用复数而非实数的原因是基于实验结果。量子力学与经典物理学有很大不同，如不确定性原理和测量会改变对象等。
• 量子比特 ：经典信息理论基于经典比特，而量子信息理论的基本单位是量子比特（qbit）。qbit与概率比特（pbit）类似，但系数是复数。
• 量子计算机的特点 ：
  • 输入、输出、程序和内存由qbit表示。
  • 任何计算步骤都可以用计算机整体的酉变换表示。
  • 计算是可逆的，确定性计算只有在可逆的情况下才能由量子计算机执行。
  • qbit不能被复制，测量会破坏信息。
  • 具有量子并行性，可能带来计算加速。

2.4 量子有限自动机

量子有限自动机有两种定义方式。1 - 路量子有限自动机只能识别正则语言，但不能识别所有正则语言。例如，语言{0, 1}*1不能被任何1 - 路量子有限自动机识别。然而，对于某些语言，量子自动机的复杂度可能更低。

2.5 其他计算设备

L. Adleman通过操纵DNA字符串成功解决了有向哈密顿路径问题，这是一个NP完全问题。后来关于分子计算的研究主要考虑为NP难问题构建通用计算机，但在较低层次（有限自动机、下推自动机等）引入分子计算概念的工作较少。

2.6 现有计算模型与人类大脑

近年来，提出了许多对确定性计算设备进行推广的数学概念，但目前仍未找到能准确描述人类大脑行为的数学模型。计算机科学家可以探讨大脑做出选择的可能机制，但现有的计算模型可能并不合适。

以下是一个简单的表格，总结不同计算模型的特点：
| 计算模型 | 特点 |
| — | — |
| 非确定性机器 | 无法提供选择机制 |
| 概率图灵机 | 能计算的函数与确定性机器相同 |
| 概率有限自动机 | 具有远离1/2有界概率的只能识别正则语言 |
| 量子计算机 | 具有量子并行性、可逆计算等特点 |

下面是一个mermaid格式的流程图，展示计算模型的发展：

graph LR
    A[确定性计算] --> B[非确定性计算]
    A --> C[概率计算]
    C --> D[概率图灵机]
    C --> E[概率有限自动机]
    A --> F[量子计算]
    F --> G[量子计算机]
    F --> H[量子有限自动机]
    A --> I[分子计算]

3. 黎曼假设与计算复杂度

3.1 生成函数的发展

生成函数是一个令人困惑的概念，它的发展经历了多个阶段：
- Abraham de Moivre的多项式生成函数 ：假设随机变量取值及对应概率，其生成函数为有限项多项式。例如，骰子取值的生成函数，通过平方该函数可计算两个骰子结果总和的概率。这里的变量t是形式变量，不考虑其具体类型。
- Leonhard Euler的无限幂级数生成函数 ：Euler将生成函数技术发展为强大工具，其函数由无限幂级数表示，操作包括求导。
- Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet的狄利克雷级数 ：Dirichlet使用更复杂的无限级数作为系数的“占位符”，即狄利克雷级数。狄利克雷级数的性质与幂级数类似，如绝对收敛性和可逐项求导等。

3.2 黎曼ζ函数

最简单的狄利克雷级数定义了黎曼ζ函数：
[
\zeta(s) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^s}
]
该函数在s > 1时收敛，例如(\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6})，(\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90})等。黎曼将ζ函数视为复变量函数，通过解析延拓将其定义域扩展到整个复平面（除s = 1处有简单极点）。

3.3 黎曼的研究与猜想

黎曼在论文中对ζ函数进行了深入研究，证明了一些重要公式，如(\zeta(s) = \Gamma(-s + 1)(2\pi)^{s - 1}2\sin(\frac{s\pi}{2})\zeta(1 - s))，并通过变量代换得到整函数(\xi(s))，且(\xi(s) = \xi(1 - s))。他还断言了ζ函数非平凡根的分布情况，提出了著名的黎曼假设：所有非平凡根的实部都为1/2。

3.4 黎曼假设的等价表述与影响

黎曼假设不仅是一个困难的未解决问题，还在许多经典数学领域有等价表述。例如，F. Roesler将其表述为一个特征值问题。理论计算机科学也可能受到黎曼假设的影响，扩展黎曼假设在许多计算机科学算法中都有应用。

3.5 黎曼假设与计算复杂度的联系

考虑图灵机的空间复杂度，特别是弱loglog - 空间和弱log - 空间可识别语言。以非平方数语言NONSQUARES为例，其补集完美平方数语言需要确定性空间Ω(log n)，而NONSQUARES是否能被弱loglog - 空间识别与数论中的未解决问题相关。

提出了以下三个猜想：
1. 猜想1 ：NONSQUARES能被确定性图灵机在loglog n空间内弱识别。
2. 猜想2 ：NONSQUARES能被非确定性图灵机在loglog n空间内弱识别。
3. 猜想3 ：(N^ (n) = O(poly \log n))，其中(N^ (n))是与雅可比符号相关的函数。

证明了这三个猜想是等价的，具体证明过程如下：
- (3) -> (1) ：确定性图灵机按顺序考虑奇数m，测试输入字长度模m的余数是否为完全平方数的余数。若(N^ (n))不超过poly log n，则空间复杂度不超过loglog n。
- (1) -> (2) ：显然成立。
- (2) -> (3) *：假设NONSQUARES能被非确定性图灵机在O(loglog n)空间内识别，由于工作带的配置数有限，机器会重复配置。若猜想(3)不成立，则会与猜想(2)矛盾。

3.6 黎曼假设的其他研究与应用

许多数学家对黎曼假设进行了研究，André Weil证明了有限域上椭圆函数的同余ζ函数的黎曼假设，P. Deligne取得了更强的结果。这些结果虽然与原始的黎曼假设不同，但在理论计算机科学中也有应用，如Michael Ben - Or和Eric Bach的工作。

以下是一个表格，总结黎曼假设相关的重要概念和结果：
| 概念/结果 | 描述 |
| — | — |
| 黎曼ζ函数 | (\zeta(s) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^s})，定义域扩展到复平面（除s = 1） |
| 黎曼假设 | 所有非平凡根的实部为1/2 |
| 猜想1 | NONSQUARES能被确定性图灵机在loglog n空间内弱识别 |
| 猜想2 | NONSQUARES能被非确定性图灵机在loglog n空间内弱识别 |
| 猜想3 | (N^*(n) = O(poly \log n)) |

下面是一个mermaid格式的流程图，展示黎曼假设相关研究的发展：

graph LR
    A[生成函数] --> B[狄利克雷级数]
    B --> C[黎曼ζ函数]
    C --> D[黎曼假设]
    D --> E[等价表述]
    D --> F[计算复杂度联系]
    D --> G[其他研究与应用]

综上所述，经典数学在计算机科学中有着重要的应用，从计算模型的发展到黎曼假设与计算复杂度的联系，都展示了数学与计算机科学的紧密结合。未来，随着研究的深入，我们有望在这些领域取得更多的突破。