HDU 5015 233 Matrix

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矩阵快速幂

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解决一道题目，该题目要求通过矩阵快速幂的方法计算特定数列的某一项值。给定了初始数列及递推公式，通过对数列进行矩阵化并利用快速幂加速计算，实现高效求解。

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5015

题意：给出a1,0 a2,0 a3,0...an,0 ，而且（a_0,1 = 233,a_0,2 = 2333,a_0,3 = 23333...），以及a_i,j = a_i-1,j +a_i,j-1( i,j ≠ 0)，求an,m(n ≤ 10,m ≤ 10⁹)。

思路：看到m那么大反而n却不大，可以想到利用矩阵转移，快速幂加速计算。

我们按照列来转移，我们知道a1,0 a2,0 a3,0 ... 转移一次后可以得到a1,1 a2,1 a3,1....。

a1,1 = a1,0 + a0,1

a2,1 = a2,0 + a1,1 = a2,0 + a1,0 + a0,1

a3,1 = a3,0 + a2,1 = a3,0 + a2,0 + a1,1 = a3,0 + a2,0 + a1,0 + a0,1

依次类推，第i列转移到第i+1列的时候，aj,i+1 = a0,i+1 + ∑ak,i (1<=k<=j)

现在我们再考虑怎么去转移每一列的233,a0,i+1 = 10 * a0,i + 3。

所以我们构造一个12*12的转移矩阵 (x1,x2...,x10,233,3)*

前1~10列是转移x1~x10，第11列是转移233，第12列是继续记录3

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0

0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0

0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0

0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0

0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0

0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1

<span style="font-size:18px;">#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <sstream>
#include <queue>
#include <utility>
using namespace std;

#define rep(i,j,k) for (int i=j;i<=k;i++)
#define Rrep(i,j,k) for (int i=j;i>=k;i--)

#define Clean(x,y) memset(x,y,sizeof(x))
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define inf 0x7fffffff
#define mod 10000007
struct matrix
{
    LL a[12][12];
    void E()
    {
        rep(i,0,11)
            rep(j,0,11)
            if ( i == j )
                a[i][j] = 1;
            else
                a[i][j] = 0;
    }
    void init()
    {
        rep(i,0,11)
            rep(j,0,11) a[i][j] = 0;
    }
    void zhuanyi()
    {
        init();
        rep(i,0,9)
            rep(j,0,i)
            a[j][i] = 1;
        rep(i,0,9) a[10][i] = 1;
        a[10][10] = 10;
        a[11][10] = 1;
        a[11][11] = 1;
    }

};

int m,n;
int x[15];
matrix multi( matrix & tx , matrix & ty )
{
    matrix ans;
    ans.init();
    rep(i,0,11)
        rep(j,0,11)
            rep(k,0,11)
            ans.a[i][j] = ( ( ans.a[i][j] + tx.a[i][k] * ty.a[k][j] ) % mod + mod ) % mod;
    return ans;
}


int solve()
{
    if ( m == 0 ) return ( x[n-1] % mod + mod ) % mod;
    matrix ans,temp;
    temp.zhuanyi();
    ans.E();
    while( m )
    {
        if ( m & 1 ) ans = multi( ans , temp );
        temp = multi( temp , temp );
        m >>= 1;
    }
    LL t = 0;
    x[10] = 233;
    x[11] = 3;
    rep(i,0,11) t = ( ( t + (x[i] * ans.a[i][n-1] % mod) ) % mod + mod ) % mod;
    return t;
}

int main()
{
    while( scanf("%d%d",&n,&m) == 2 )
    {
        Clean(x,0);
        rep(i,0,n-1) scanf("%d",&x[i]);
        cout<<solve()<<endl;
    }
    return 0;
}</span>