蒙特卡罗方法介绍( 二)

蒙特卡罗方法介绍( 二)

一、蒙特卡罗求解定积分

蒙特卡洛方法求解定积分有两种方法，一种是上一节中讲的投点法，另外一种是期望法（也称平均值法）。

1.1 投点法

给出如下曲线$f(x)$,求$f(x)$在$a,b$上的积分，即$x$在$a,b$上与曲线$f(x)$围成的面积。随机在如下矩形中进行投点，假设绿色点数为$g$，红色点数为$r$,矩阵的面积为$A$,则绿色部分的面积$S$就是:
$$S=A\ast \frac{g}{r+g}$$

注意，蒙特卡罗方法所求的数值是一个近似值，而不是精确值。

1.2 期望法（平均值法）

1.2.1 无意识统计学家定律（Law of the unconscious statistician，LOTUS）

统计学中期望描述了随机变量的平均取值的大小特征，计算期望过程：试验中每次可能结果的概率值乘以其结果的总和，也就是数值乘以其发生的概率的和。理解无意识统计学家定律就是告诉我们，事件万物相互之间是有相互联系的，一个事件的发生概率一定程度上可以用另一个事件的发生概率进行描述，比如函数$F(X)=(X-3{)}^2$中，$X$是一个随机变量，$X$的概率密度函数是影响到$F(X)$取值的概率密度函数的。

无意识统计学加定律，则是告诉已知随机变量$X$的概率分布$f_x(x)$，但不知道$g(X)$的分布，此时用LOTUS公式能计算出函数$g(X)$的数学期望。

$X$是离散分布时
$$E[g(X)]=\sum _{x}g(X)f_x(x)$$

$X$是连续分布时
$$E[g(X)]=\int g(X)f_x(x)dx$$

常见的分布变换如下：

1.2.2 期望法

还是上边的例子，我们用期望法求解曲线的面积。
任意选取一组独立的、同分布的随机变量$X_i$,$X_i$在$[a,b]$上服从分布律$f_{}$