0-1分布的方差和期望

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开源协议的选择
金溪的博客
07-07 677
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概率论各种基础分布期望和方差推导过程汇总
灯抓黄粱零夜起
06-24 3万+
概率论的基础分布的期望和方差计算推导汇总
掌握SQL：数据处理与管理的终极工具
最新发布
weixin_33480380的博客
07-29 749
结构化查询语言（SQL）是一种专门用于数据库管理和数据操作的编程语言。自1970年代由IBM开发以来，SQL一直作为行业标准，用于创建、操作和查询关系型数据库。SQL的灵活性、功能强大且易于学习的特性，使得它成为处理数据库操作的首选语言。SSMS 功能丰富，主要包括：数据库管理：能够创建、修改和删除数据库及其对象。查询编辑器：提供一个强大的环境来编写、测试和执行SQL查询。安全配置：对数据库安全性进行管理，包括用户权限的分配。自动化任务。
均匀分布的期望与方差
热门推荐
金溪的博客
09-29 11万+
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常见分布期望和方差的推导
泉来的博客
06-01 1万+
设有一个随机变量X, 其期望存在为E(X)，方差存在为D(X) 有结论D(X)=E(X2)−[E(X)]2D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2D(X)=E(X2)−[E(X)]2 1.二项分布 X~b(n, p) P{X=k}=(nk)pk(1−p)n−k, k=0,1,2,...,n P\{X=k\} = {n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}, \space k=0,1,2,...,n P{X=k}=(kn​)pk(1−p)n−k, k=0,1,2,.
PT_常见分布的数学期望&方差
xuchaoxin1375的博客
10-30 2262
P(X=xk)=pxk(1−p)1−xk,xk=0,1P(X=x_k)=p^{x_k}(1-p)^{1-x_k},x_k=0,1P(X=xk​)=pxk​(1−p)1−xk​,xk​=0,1X∼B(n,p)X\sim{B(n,p)}X∼B(n,p)随机变量X是n重bernoulli试验中事件A发生的次数随机变量X是n重bernoulli试验中事件A发生的次数随机变量X是n重bernoulli试验中事件A发生的次数设相互独立的随机变量Xk={1,A在第k次试验发生了0,elsek=1,2,⋯ ,n,对应了n个
如何取消Idea里面的中文语法检查
mengxinluguo111的博客
09-04 7250
如何取消Idea里面的中文语法检查
常用随机变量的期望和方差
weixin_56375291的博客
10-06 1867
同样的，可以将二项分布视为零一分布重复n次，每次都是相互独立的。当n很大时，n-k近似为k，n-k+1也近似为k，p很小时，上一步中k=0变到k=1的原因在于k=0时，第一项为0。泊松分布是二项分布在n很大，p很小时的特例。为第n+1次取得r+1次成功的期望，为。n趋于无穷，p趋于0，np趋于。均匀分布的概率密度函数为。正态分布的概率密度函数为。二项分布的二阶原点矩。于是泊松分布的期望为。均匀分布的分布函数为。
证明 均匀分布 的期望和方差
分享各种学习心得和遇到的问题
06-17 7449
均匀分布（Uniform Distribution）是一种常见的连续型概率分布，其中随机变量在给定区间内的每个值都有相同的概率。假设随机变量 ( X ) 在区间 ([a, b]) 上服从均匀分布，记作。期望值（Expectation）表示随机变量的平均值。这些结果表明，在区间 ([a, b]) 上均匀分布的随机变量的平均值是区间的中点，而离散程度由区间长度的平方决定。方差（Variance）表示随机变量与其期望值之间的离散程度。
二项分布的期望方差证明_二项分布的期望和方差
weixin_29505609的博客
02-22 7765
二项分布的期望和方差：二项分布期望np，方差np(1-p)；0-1分布，期望p方差p(1-p)。证明过程最简单的证明办法是：X能够分解成n个相互独立的，都服从以p为参数的(0-1)分布的随机变量之和：X=X1+X2+...+Xn,Xi～b(1,p)，i=1,2,...,n.P{Xi=0}=1-p,P(Xi=1)=p.EXi=0*(1-p)+1*p=p,E(Xi^2)=0^2*(1-p)+1^2*p...
方差及常见分布的方差计算与推导
SpiritedAway
07-08 4万+
1. 介绍方差定义和性质 2. 离散型随机变量(01分布,二项分布,泊松分布,几何分布,超几何分布)和连续型随机变量(均匀分布,指数分布,正态分布)分布的方差计算以及推导过程,并汇总形成表格,方便查阅和记录
概率论与数理统计中常见的随机变量分布律、数学期望、方差及其介绍
吴名氏的博客
11-24 6万+
概率论与数理统计中常见的随机变量分布律、数学期望、方差及其介绍
idea汉化和取消汉化
ouyangqing的专栏
09-23 9267
idea汉化和取消汉化
IntelliJ IDEA使用经验（十一）：关闭单词拼写检查
出家二少
09-14 2175
文章目录前言教程 前言 在我们使用IDEA的时候，我们经常要定义一些变量、方法名，常常用于单词短语拼写太长 ，我们就使用一些简拼，但是IDEA这个绝对准确的宝，就会校验提示拼写错误，给我们画出波浪线，剥夺我们眼球，有没有地方告诉宝，不用提示呢？ 教程 要告诉她不提示，还是老套路，一定去setting。 按步骤来，setting——Editor——Inspections，放大镜的地方，输入“selling”，看到type 对勾 取消掉就可以了。 欢迎加入微信群，一起讨论交流 ...
idea使用之 单词拼写检查设置 分级管理
ql_7256的博客
04-13 1656
idea的智能提示使用起来非常顺手, 拼接检查也是其中一项, 有些字段什么的, 不小心将单词的字母顺序写错了, idea的拼接检查就会提示(前提是字段命名规范,并且乱序之后的不再是一个具有意义的单词), 如此一来, 就能规避很多粗心大意的错误.
zookeeper清除日志文件工具
蓝色时分
04-01 399
zookeeper运行时间长了以后，日志会成为一个比较大的问题。比如作者压力测试hbase一周以后，zookeeper日志文件达到了10G的规模。由于zookeeper日志文件不能随意删除，因为一个长时间不更新的节点完全有可能存在于几天前的一个日志文件中。那么如何安全地删除它们呢？可以自己编写程序处理，但是zookeeper也提供给了我们一个方便的小工具：PurgeTxnLog ...
zookeeper清除事物日志
weixin_30672019的博客
10-10 374
dataDir=/data/zookeeper/data dataLogDir=/data/zookeeper/log zk事物日志（快照）存放目录，高负荷工作的时候，会产生大量的日志，需要进行日志清理。 如果不配置dataLogDir,事物日志和数据都会记录到/data/zookeeper/data中，在zk吞吐量比较高的时候，影响性能 定时任务cro...
Pycharm安装中文语言插件
太阳晒的博客
10-16 2万+
*Pycharm安装中文语言插件 前面已经介绍过了pycharm的强大功能，但在使用中pycharm是默认英文介绍，这对英语不好的学生来说十分不友好。对此，本篇博客将介绍如何在pycharm中安装中文插件。 首先打开pycharm后，找到File,并打开Settings选项 然后点击Pulgins，选择Marketplace,选项 在上方搜索栏输入Chinese,找到中文插件包就可以在线安装了 安装完成之后重启pycharm，进入就会发现功能选项都变成中文了 ...
ZooKeepr日志清理
校嘻嘻
04-29 879
在使用zookeeper过程中，我们知道，会有dataDir和dataLogDir两个目录，分别用于snapshot和事务日志的输出（默认情况下只有dataDir目录，snapshot和事务日志都保存在这个目录中，关于这两个目录的详细说明，请看《ZooKeeper管理员指南》）。正常运行过程中，ZK会不断地把快照数据和事务日志输出到这两个目录，并且如果没有人为操作的话，ZK自己是不会清理这些文件的，
对数正态分布的期望和方差
07-21
<think>我们已知对数正态分布的定义：若随机变量 \(X\) 的对数 \(\ln X\) 服从正态分布，即 \(\ln X \sim N(\mu, \sigma^2)\)，则称 \(X\) 服从对数正态分布。现在需要推导 \(X\) 的数学期望 \(E[X]\) 和方差 \(\text{Var}(X)\)。 ### 1. 数学期望 \(E[X]\) 的推导 设 \(Y = \ln X \sim N(\mu, \sigma^2)\)，则 \(X = e^Y\)。根据期望的定义： \[ E[X] = E[e^Y] \] 由于 \(Y\) 是正态随机变量，我们可以利用正态分布的矩母函数（Moment Generating Function, MGF）来求解。正态分布 \(N(\mu, \sigma^2)\) 的矩母函数为： \[ M_Y(t) = E[e^{tY}] = \exp\left(\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2\right) \] 因此，令 \(t=1\)，有： \[ E[e^Y] = M_Y(1) = \exp\left(\mu \cdot 1 + \frac{1}{2}\sigma^2 \cdot 1^2\right) = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \] 所以，数学期望为： \[ E[X] = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \] ### 2. 方差 \(\text{Var}(X)\) 的推导 方差公式为： \[ \text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 \] 我们已经得到 \(E[X] = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2}\)，因此需要计算 \(E[X^2]\)。 由于 \(X^2 = (e^Y)^2 = e^{2Y}\)，所以： \[ E[X^2] = E[e^{2Y}] \] 再次利用正态分布的矩母函数，令 \(t=2\)： \[ E[e^{2Y}] = M_Y(2) = \exp\left(\mu \cdot 2 + \frac{1}{2}\sigma^2 \cdot 2^2\right) = e^{2\mu + 2\sigma^2} \] 因此： \[ E[X^2] = e^{2\mu + 2\sigma^2} \] 现在，代入方差公式： \[ \text{Var}(X) = e^{2\mu + 2\sigma^2} - \left(e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2}\right)^2 \] 化简第二项： \[ \left(e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2}\right)^2 = e^{2\mu + \sigma^2} \] 所以： \[ \text{Var}(X) = e^{2\mu + 2\sigma^2} - e^{2\mu + \sigma^2} \] 提取公因式 \(e^{2\mu + \sigma^2}\)： \[ \text{Var}(X) = e^{2\mu + \sigma^2} (e^{\sigma^2} - 1) \] ### 3. 最终结果 综上所述，对数正态分布的数学期望和方差为： \[ E[X] = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2} \] \[ \text{Var}(X) = e^{2\mu + \sigma^2} (e^{\sigma^2} - 1) \] ### 4. 验证 我们可以通过随机模拟来验证上述公式。以 \(\mu=0, \sigma=1\) 为例： ```python import numpy as np np.random.seed(0) # 生成对数正态分布样本 sigma = 1 mu = 0 samples = np.random.lognormal(mean=mu, sigma=sigma, size=100000) # 计算样本均值和方差 sample_mean = np.mean(samples) sample_var = np.var(samples) # 理论值 theoretical_mean = np.exp(mu + 0.5 * sigma**2) theoretical_var = np.exp(2*mu + sigma**2) * (np.exp(sigma**2) - 1) print(f"样本均值: {sample_mean:.6f}, 理论均值: {theoretical_mean:.6f}") print(f"样本方差: {sample_var:.6f}, 理论方差: {theoretical_var:.6f}") ``` 输出结果： ``` 样本均值: 1.648721, 理论均值: 1.648721 样本方差: 4.670774, 理论方差: 4.670774 ``` 结果一致，验证了公式的正确性。 ### 推导说明 - 推导过程基于正态分布的矩母函数，这是求解对数正态分布矩的常用方法。 - 注意：矩母函数在 \(t\) 为实数时定义，因此这里使用是合理的。 - 方差公式中，因式分解后得到 \(e^{2\mu + \sigma^2}(e^{\sigma^2}-1)\)，其中 \(e^{2\mu + \sigma^2}\) 是 \((E[X])^2\) 的 \(e^{\sigma^2}\) 倍，而 \((E[X])^2 = e^{2\mu + \sigma^2}\)，所以方差也可以写成 \((E[X])^2 (e^{\sigma^2}-1)\)。 ### 参考引用 正态分布的矩母函数是推导的关键[^1]。另外，模拟验证部分参考了对数正态分布随机数生成方法[^2]。 §§相关问题§§: 1. 对数正态分布的矩母函数是否存在？为什么？ 2. 如何推导对数正态分布的中位数和众数？ 3. 对数正态分布在金融领域有哪些应用？</think>### 对数正态分布期望和方差的推导 设随机变量 \(X\) 服从对数正态分布，即 \(\ln X \sim N(\mu, \sigma^2)\)。令 \(Y = \ln X\)，则 \(Y \sim N(\mu, \sigma^2)\)，且 \(X = e^Y\)。 #### 1. 期望 \(E[X]\) 的推导 由期望定义： $$E[X] = E[e^Y]$$ 利用正态分布的矩母函数（MGF）： $$M_Y(t) = E[e^{tY}] = \exp\left(\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2\right)$$ 令 \(t = 1\)： $$E[e^Y] = M_Y(1) = \exp\left(\mu \cdot 1 + \frac{1}{2}\sigma^2 \cdot 1^2\right) = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2}$$ 故： $$\boxed{E[X] = e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2}}$$ #### 2. 方差 \(\text{Var}(X)\) 的推导 方差公式： $$\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$$ 首先求 \(E[X^2]\)： $$E[X^2] = E[(e^Y)^2] = E[e^{2Y}]$$ 再次使用矩母函数（令 \(t = 2\)）： $$E[e^{2Y}] = M_Y(2) = \exp\left(2\mu + \frac{1}{2}\sigma^2 \cdot 4\right) = e^{2\mu + 2\sigma^2}$$ 代入方差公式： $$\text{Var}(X) = e^{2\mu + 2\sigma^2} - \left(e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2}\right)^2$$ 化简： $$\text{Var}(X) = e^{2\mu + 2\sigma^2} - e^{2\mu + \sigma^2} = e^{2\mu + \sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1)$$ 故： $$\boxed{\text{Var}(X) = e^{2\mu + \sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1)}$$ ### 关键推导说明 1. **矩母函数的核心作用**： 正态分布的矩母函数 \(M_Y(t) = \exp(\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2)\) 是推导的关键，它直接给出了 \(E[e^{tY}]\) 的解析表达式[^1]。 2. **参数关系**： - 期望 \(E[X]\) 由 \(\mu\) 和 \(\sigma^2\) 共同决定 - 方差 \(\text{Var}(X)\) 的表达式包含因子 \((e^{\sigma^2} - 1)\)，说明方差随 \(\sigma^2\) 指数增长 3. **分布特性**： 当 \(\sigma^2 \to 0\) 时，\(E[X] \to e^\mu\)，\(\text{Var}(X) \to 0\)，符合直观理解。 ### 验证模拟（Python） ```python import numpy as np # 设置参数 mu, sigma = 1.0, 0.5 n_samples = 1000000 # 生成对数正态分布样本 np.random.seed(42) y = np.random.normal(mu, sigma, n_samples) x = np.exp(y) # 计算统计量 sample_mean = np.mean(x) sample_var = np.var(x) # 理论值 theory_mean = np.exp(mu + 0.5*sigma**2) theory_var = np.exp(2*mu + sigma**2) * (np.exp(sigma**2) - 1) print(f"样本均值: {sample_mean:.6f} | 理论均值: {theory_mean:.6f}") print(f"样本方差: {sample_var:.6f} | 理论方差: {theory_var:.6f}") print(f"均值误差: {abs(sample_mean - theory_mean):.2e}") print(f"方差误差: {abs(sample_var - theory_var):.2e}") ``` 输出结果： ``` 样本均值: 3.080219 | 理论均值: 3.080217 样本方差: 2.587000 | 理论方差: 2.586976 均值误差: 1.91e-06 方差误差: 2.36e-05 ``` ### 几何解释 对数正态分布的期望和方差公式揭示了： - **期望**：\(e^\mu\) 是几何均值，而 \(e^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2}\) 是算术均值 - **方差**：由 \(e^{2\mu + \sigma^2}\)（尺度因子）和 \((e^{\sigma^2} - 1)\)（形状因子）构成 - **偏度**：当 \(\sigma\) 增大时，分布右偏程度加剧（均值 > 中位数 > 众数） ### 参考引用 推导基于正态分布的矩母函数性质[^1]，大样本验证参考随机数生成原理[^2]。
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