POJ_1061_青蛙的约会(扩展欧几里得)

最新推荐文章于 2018-07-12 20:17:24 发布

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本文介绍了一个有趣的数学问题——两只在线上相对而跳的青蛙能否碰面及如何通过编程求解这一问题。文章详细解释了如何将问题转化为数学方程，并提供了一段使用扩展欧几里得算法的C++代码实现。

Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行”Impossible”

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

思路

A,B两只青蛙,A位于x,一次跳m,B位于y,一次跳n，设跳t次相遇，A位置x+mt，B:y+nt，如果相遇则 x+mt=y+nt；所以（x+mt）%L=（y+nt）%L（同余）
：：：：利用a=b（mod n）充要条件（a-b）=k*n(k整数倍);
得：（m-n）t+kL=y-x；
转化成ax+by=c形式求解。（最小整数解）
》》》》特别注意m-n小于0的情况

扩展欧几里得模板代码：
long long gcd(long long a,long long b,long long& x,long long& y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
else
{
long long d=gcd(b,a%b,y,x);
y-=x*(a/b);
return d;
}
}

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

long long gcd(long long a,long long b,long long& x,long long& y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    else
    {
        long long d=gcd(b,a%b,y,x);
        y-=x*(a/b);
        return d;
    }
}
int main()
{
    long long x,y,m,n,l;
    long long a,b,c,t,k;
    cin>>x>>y>>m>>n>>l;
    a=m-n;
    b=l;
    c=y-x;
    if(a<0)
    {
        a=-a;
        c=-c;
    }
    long long d=gcd(a,b,t,k);
    if(c%d!=0)
        printf("Impossible\n");
    else
    {
        t=t*c/d;
        t=(t%(b/d)+(b/d))%(b/d);
        printf("%lld\n",t);
    }
    return 0;
}