可视化子空间的和与直和

定义

子空间：向量空间的子集若成为新的向量空间，称该空间为原向量空间的子空间。
子空间的和：假设有若干多个子空间，先从每个子空间里抽出一个向量（任意抽），在定义过向量加法的基础上，再将每个向量相加得到一个新的向量，以这种方式得到的新向量的全体构成一个子空间的和。
子空间的直和：假设有一个子空间，若存在唯一的抽取方法来生成该子空间的每一个向量，则称此子空间的和为子空间的直和。
 

引理和定理

• 子空间的和是包含这些子空间的最小子空间
• 子空间的和是直和$\iff$每个子空间都必须抽取0向量才可以生成子空间的和中的0向量
• $U、W$为子空间，$U+W$是直和 $\iff$ U⋂W={0}U \bigcap W= \{0\}U⋂W={0}, 即两个子空间只有唯一一个公有元素是0时，二者的和是直和
   

可视化

直线$(x,0,0)$、$(0,y,0)$分别是三维空间$(x,y,z)$中的子空间，显然平面$(x,y,0)$是子空间，且包含两条直线，同时满足“最小的子空间”，特别的，由于两条直线最初只有在$(0,0,0)$处相交，故平面$(x,y,0)$还是两条直线的直和。

反例：平面$(x,y,0)$和$(0,y,z)$是子空间，但是二者的公有元素是一条直线$(0,y,0)$，不满足“两个子空间的公有元素只有0”，故该子空间的和不是直和。