算法思想：关于找数组中第K大的数的思考

对于数组这东西，编程编的久了。绝对不陌生，但是数组可以衍生出很多有意思的问题。比如找出一个整形数组中第K大的数；找出一个整形数组中第K大的数，输出它的位置等等。
找第K个大的数不难，只要是接触过快速排序的人。都知道可以用快排的一次划分步骤作为筛选条件。
可以很快的写出partition的方法，快排还在草稿中，以后讨论

int my_partition(int*& r,int begin,int end)
{
    if(r == NULL || begin>end) return -1;
    int i=begin,j=end;
    while(i<j)
    {
        while(i<j && r[i]<r[j]) j--;
        if(i<j)
        {
            swap(r[i],r[j]);
            i++;
        }
        while(i<j && r[i]<r[j]) i++;
        if(i<j)
        {
            swap(r[i],r[j]);
            j--;
        }
    }
    return i;
}

对于第一个问题找到第k大的数，有了partition后就很简单了。

    int index=0;

    int begin=0,end=n-1;
    //快速排序一次划分,直到第K个划分值出现 
    //序号0包括在内，实质的下标为k-1
    while(index != k-1)
    {
        index = my_partition(r,begin,end);
        if(index > k-1){
            end = index-1;

        }
        else if(index < k-1)
        {
            begin = index +1;
        }

    }

但是这样就会修改了数组的原始分布，如果是第二个问题，还要输出第K个大数字的位置，这就略显尴尬了。如果这个第K大的数字在数中还有重复，那样的话下标就有多个了。

当然了，学过数据结构的人也快知道如何在partition的基础上加点修改来解决，就是建立个哈希表的事情嘛。我们在partition之前,建立个关于数组内容和下标的哈希表，这样在partition后得到的第K个数字，在哈希表里面查找然后输出记录下来的下标。建哈希的时间O（n）,partition的时间O（nlogk），查找输出的时间O（1），总的时间复杂度为O(nlogk)，还挺可观的。辅助空间S（n^2）

    map<int,vector<int> > hashmap;
    int temp=0;

    for(int i=0;i<n;i++)//建立哈希表,map的底层其实是红黑树，不是实质上的哈希，但能表达出这种关系 ，所以程序实质上的复杂度并不是上文那样
    {
        temp=r[i];
        hashmap[temp].push_back(i);
    }   

那么问题来了，有没有不修改数组顺序的方法呢？也是有的。因为我们是要找第K个大的数，那么原数组中必然存在一个子集，是包含了前K个大的数字组成的数组。那么很容易想到用一个大小为K的辅助数组A来寻找这个原数组前K个大的数字组成的子数组。对于这个大小为K的辅助数组A，关注点在于每次都需要拿A中的最大元素和原数组中的从第K+1个到第N个元素比较。
如果每次提取都需要扫描一遍A，时间为O（n），显然是不必要的，没有利用到历史的搜索记录。可以想到使用堆就可以每次以O（1）的时间找到当前最大的数。那么思路就很明显了，在第K+1到第N个元素的比较中，如果出现了比当前A中的最大元素还小，那么就替换当前的最大元素，然后在进行一次重建堆，因为在A在初始建立堆后已经具有了堆的性质，因此以后每次重建堆需要的时间为O(logk)。时间：扫描数组O（n）。重建（n-k）次堆，因此调整堆的时间为O((n-k)logk)—>O（nlogk），输出在扫描一次数组O（n）。总的时间为O（2*n+nlogk）。也就是O（nlogk），辅助空间S(k)。总的来说在空间上要比用哈希的方法来的好。

    vector<int> heap;
    for(int i=0;i<k;i++)//先读取k个数放入待选容器 
    {
        heap.push_back(r[i]);
    }
    //初始建立最大堆 
    make_heap(heap.begin(),heap.end());
    for(int i=k;i<n;i++)
    {
        vector<int>::iterator it = heap.begin();
        if(*it > r[i])
        {
        //发现比堆顶还小的数
        *it = r[i];
        //重新建立堆 
        make_heap(heap.begin(),heap.end());
        }
    }

    cout<<"第k个大的数为:"<<heap[0]<<endl;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        if(heap[0] == r[i]) cout<<i<<" ";

    }

从上面的两个例子来说，找第K大的数都可以用两种思路来思考，一种是建立索引，一种是找到前K个大的数字组成的子数组。一般来说，建立索引我们可以获得信息是最多的，很容易迁移至其他问题上，且效率基本不有很大的下降。比如说求第K个大的数字出现的次数，求前K个大的数字的和或者总和等等。但是如果数据量很多的话，辅助空间就略可怕了。

建立辅助数组的思路的话，我们能获得的信息仅仅是数组中的前K个大的数字都是哪一些。因此如果数据量非常大的话，且我们的主要目的在于查找的话，这个方法就非常的好了。