第七届传智杯省赛第一场 F.小苯的糖果游戏

F.小苯的糖果游戏

题目描述

小苯和格格正在玩一款名为“吃糖果”的游戏，游戏的过程是这样的：

两人面前有 $n$ 堆糖果，从左到右编号从 1 到 $n$，其中第 $i$ 堆糖果中有 $a_i$ 颗糖果。初始时小苯在 0 号位置（第一堆糖果的左侧），格格在 $n+1$ 号位置。（第 $n$ 堆糖果的右侧）

假设小苯目前位于 $i$ 号糖果堆的位置，格格位于 $j$ 号糖果堆（$i<j-1$），则每秒钟都会发生如下过程：

• 如果 $i=j-1$（即两人已经相邻），则游戏结束。
• 否则，两人轮流操作，小苯先手：
  • 轮到小苯时，小苯可以选择待在原地；或跳跃到 $i+1$ 号糖果堆，然后选择吃掉所有 $a_{i+1}$ 颗糖果，或者不吃。
  • 轮到格格时，格格可以选择待在原地；或跳跃到 $j-1$ 号糖果堆，然后选择吃掉所有 $a_{j-1}$ 颗糖果，或者不吃。

（当然，吃掉某堆糖果的前提是此堆糖果之前没被吃掉。换句话说每堆糖果被任何人吃掉后都会消失。）

现在我们考虑所有结束的游戏，为了公平起见，小苯希望自己和格格吃掉的糖果数量相同，他想知道有多少种不同的游戏过程能满足他的要求，请你帮他算一算吧。

（游戏过程的不同性在下方备注处给出了定义。）

输入描述:

本题含有多组测试数据。
第一行一个正整数 $T(1\le T\le 100)$，表示测试数据的组数。
接下来对于每组测试数据，输入包含两行。
第一行一个正整数 $n(1\le n\le 100)$，表示糖果的总堆数。
第二行 $n$ 个正整数 $a_i(1\le a_i\le 100)$，表示每堆糖果的总个数。

输出描述:

对于每组测试数据，输出一行一个整数，表示不同的游戏过程数。
（由于结果可能很大，因此你只要输出答案对 $998244353$ 取模的值即可。）

示例1

输入

2 3 1 2 1 6 1 3 1 1 2 1

输出

6 41

提示

说明
考虑第一组测试数据，最终结束时满足小苯要求的，不同的游戏过程有：
小苯位于 $i=0$，格格位于 $j=1$，两人都没有吃糖果。
小苯位于 $i=1$，格格位于 $j=2$，两人都没有吃糖果。
小苯位于 $i=2$，格格位于 $j=3$，两人都没有吃糖果。
小苯位于 $i=3$，格格位于 $j=4$，两人都没有吃糖果。
小苯位于 $i=1$，格格位于 $j=2$，小苯选择吃掉的糖果编号集合为： { 1 } \{1\} {1}，格格选择吃掉的糖果编号集合为 { 3 } \{3\} {3}。
小苯位于 $i=2$，格格位于 $j=3$，小苯选择吃掉的糖果编号集合为： { 1 } \{1\} {1}，格格选择吃掉的糖果编号集合为 { 3 } \{3\} {3}。

备注:
考虑两个游戏过程：
游戏过程 1： 结束时，小苯位于 $po{s}_1$，小苯选择拿走的糖果堆的编号集合为 $S_1$，格格选择拿走的糖果堆编号集合为 $S_2$。
游戏过程 2： 结束时，小苯位于 $po{s}_2$，格格位于 $po{s}_2$，小苯选择拿走的糖果堆的编号集合为 $S_3$，格格选择拿走的糖果堆编号集合为 $S_4$。
定义两个游戏过程相同，当且仅当：$po{s}_1=po{s}_2$，同时 $S_1=S_3$ 且 $S_2=S4$。
否则两个游戏过程不相同。

示例代码

const int N = 1e2 + 5;
const int NN = 1e4 + 5;
const int M = 998244353;

int a[N], f1[N][NN], f2[N][NN];

void solve()
{
    int n; cin >> n;
    int s = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
        s += a[i];
    }

    memset(f1, 0, sizeof(f1));
    memset(f2, 0, sizeof(f2));
    
    f1[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {// 遍历堆
        for (int j = 0; j <= s; j++)
        {
            f1[i][j] = f1[i - 1][j]; // 不选第 i 堆糖果
            if (j >= a[i]) 
            {
                f1[i][j] = (f1[i][j] + f1[i - 1][j - a[i]]) % M;
            }
        }
    }

    // f2为后缀dp
    f2[n + 1][0] = 1;
    for (int i = n; i >= 1; i--)
    {
        for (int j = 0; j <= s; j++)
        {
            f2[i][j] = f2[i + 1][j];
            if (j >= a[i])
            {
                f2[i][j] = (f2[i][j] + f2[i + 1][j - a[i]]) % M;
            }
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 0; j <= s; j++)
        {
            ans = (ans + f1[i][j] * f2[i + 1][j] % M) % M;
        }
    }
    cout << ans << endl;
}

其实我们是能够将$f2$的优化为滚动数组的，因为我们在算答案的时候只需要知道当前层的信息即可

    f2[0] = 1; // 注意此处数组底标的意义
    for (int i = n; i >= 1; i--)
    {
        for (int j = s; j >= a[i]; j--)
        {
            f2[j] = (f2[j] + f2[j - a[i]]) % M;
        }
        for (int j = 0; j <= s; j++)
        {
            ans = (ans + f1[i - 1][j] * f2[j] % M) % M;
        }
    }
    
    ans = (ans + f1[n][0]) % M; // 一定要加上这一行，上面的循环是没有处理格格在原地的情况的，实际上就是 +1