应用非标准分析中译本序

应用非标准分析中译本序

当我们历史的考察微积分学的发展时，我认为大致上有三个阶段。第一阶段是从牛顿、莱布尼兹创立微积分到19世纪20年代柯西的工作之前，在这150多年中，微积分的理论体系和它在天文、工程、航空、航海等多方面的应用都有重大的发展，但同时也暴露了它的逻辑基础方面的问题，人们发现了其中若干惊人的含糊不清之处，到处都有从特殊到一般的不可靠的推理方法。第二阶段是从柯西1821年的《代数分析教程》开始到1960年鲁宾逊的非标准分析产生之前，这140年经历了柯西、维尔斯特拉斯、康托的分析实数的奠基工作和奠基后的理论与应用方面的开拓性工作，产生了一系列新的分支学科。第三阶段是从1961年鲁宾逊的工作开始，至今不到30年的历史。非标准分析给微积分学提供了一个既使用无限小的数及无限大的数又合乎当代严谨标准的逻辑基础和论证方法。正如本书著者所说：“与其说非标准分析是一门学科，还不如说它是一种方法”，这一方法已经渗透到分析数学的各个分支学科。它将导致分析数学的新发展和更广阔的应用。
鲁宾逊是一位卓越的数理逻辑学家，他长期从事数学在航空方面的应用研究，对物理与流体力学都作出了贡献，特别是运用现代数理逻辑的严谨方法，在柯西、魏尔斯特拉斯微积分学（即标准分析）的基础上论证了实无限小量的存在性，从而把实数域$\mathbb R$扩大到超实数域$^*R$。已经证明任一实数都在$^*R$中，并且存在着无限小的数$\epsilon>0$，$\epsilon$在$^*R$中（当然$\epsilon$不在$\mathbb R$中），这样，数域$^*R$就是$\mathbb R$的一个真扩充，正如实数域$R$是有理数域$\mathbb Q$的扩充那样，都是要经过严谨的数学论证的。虽然无理数在古代数学中已被发现，然而实数域$\mathbb R$的严格理论直到19世纪后期才建立起来。无限小在古代数学中也已出现，并且在微积分初期已被广泛使用，而它的严谨理论只是在1960年后方由鲁宾逊所建立。鲁宾逊是无限小的严谨理论（即非标准分析）的奠基人。1966年出版的鲁宾逊专著《非标准分析》不仅全面的系统的阐述了非标准分析的基本概念、方法与定理，而且阐述了伯恩斯坦与鲁宾逊本人所发现的“在希尔伯特空间上任何多项式紧线性算子必有非平凡的不变子空间的非标准方法的证明”。阅读鲁宾逊的专著需要一定的逻辑训练与基础，一般数学工作者往往因缺少逻辑训练而不易理解。M$\centerdot$戴维斯的这本书是为高年级大学生和研究生写的教科书，它是一本还不具备逻辑预备知识的读者学习非标准分析的合适教材。本书不仅通俗易懂、论证严谨，而且内容也是深刻的，它的中心部分在于阐述与论证鲁宾逊与伯恩斯坦定理。
值得注意的是戴维斯是一位知名的数理逻辑学家，他对数学及其应用都有深刻的理解。他是希尔伯特第十问题的否定解决的主要贡献者之一。他也是把逻辑应用于计算机科学并作出重要贡献的学者之一，他在可计算性、机器证明方法与程序正确性证明等方面都有贡献。
本书中译本的出版将会对中国数学界产生积极的影响，给那些不熟悉数理逻辑并对非标准分析有兴趣的读者提供一个很好的教材；人们可以通过它了解非标准分析的结果，掌握非标准分析方法（这是当代分析数学中一个强有力的方法），并运用它对分析数学及其应用作出贡献。
哥德尔曾指出：“我们有充分的理由相信，以这种或那种形式表示的非标准分析，将成为未来的分析学”（引自鲁宾逊《非标准分析》第二版序言）。我们相信，一个数学工作者（不管他是研究者还是教师）能够熟练的掌握非标准分析的方法将是十分有益的。而它对于数学的应用（特别是分析数学的应用）尤其是重要的。
张锦文
1988年9月于北京
中国科学院软件研究所