什么是非标准分析（Non Standard Analysis）？

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很不好意思，今天谈论“非标准分析”这个话题，因为，我不知道我的读者是不是喜欢这个话题，很可能是“无的放矢”，瞎说一通。非常抱歉！

学工科的同学都知道“实数系”（也称为“实轴”）。所谓“收敛数列”是指，该数列在某个正整数之后，数列“尾巴”的摇动都在可控制范围之内。在这种定义之下，凡收敛数列均指向唯一个“实数”，称为它的“极限”。实际上，这条原则就是整个微积分的理论基础。但是，这种收敛的定义确实过于“宽泛”，不够精密。大约在1973年，我提出一种基于“超滤器”（Ultrafilter）的方法：凡两个收敛数列，如果存在一个共同的“无限子数列”，则称两者“等价”。容易证明，在收敛于同一个实数的所有数列集合中存在这种“等价”关系。这个“等价类”就定义了一类“超实数”，叫做“非标准数”。这种引入”超实数“的方法等价于1961年美国数理逻辑专家A.Robinson（犹太人）的”非标准分析“（NSA）理论基础。

非标准分析发现，在一个普通实数的周围存在着无穷多个与其相差是”无限小“的超实数，认为原来的”实数轴“模型过于粗糙，不够精密。虽然标准分析与非标准分析的”结论“往往是一致的，但是，近年来，人们发现：”There is a growing number of results that are not being translated into standard results, because the intuitive content of certain theorems is greater and/or clearer when left in non standard terminology“，这充分说明了非标准分析独立存在的价值。

人类研究微积分至今已经有300多年历史，非标准分析出现也有50多年。因为涉及到数学基础的变革，在我们国内，少有进展。我本应献身在国内推广非标准分析的神圣事业，但是，由于在20年前的一个错误的“选择”（即创办”北大火星人“），使我走上了另外的一条发展道路：普及Linux，至今无果，无颜面对众人也。

我认为，搞非标准分析（包括微积分的教学改革），在我们国内是有基础的。中国的孩子们并不呆笨，从小学习编程（玩小电脑），接受非标准分析，都是有可能的。上世纪，我们错过了集成电路与软件创新的最佳历史时期，导致今天要从国外大量购买芯片和软件，付出了昂贵的代价。现在，我们整天眼巴巴地看着苹果、谷歌和微软的眼色行事，脚跟发软，心里发虚。......我们还是寄希望于下一代吧!